Konvergenz der Summe aller natürlichen Zahlen

09.01.2014, 20:27

stekepego

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Konvergenz der Summe aller natürlichen Zahlen

Hi,
habe heute ein Video gesehen von Numberphile, ist ein Youtube Channel der sich um Zahlen dreht, falls ihr ihn nicht kennt.
Auf jeden Fall kam von denen heute ein Video, bzw. ein zweites mit einer näheren Erläuterung, in dem bewiesen wurde, wieso die Summe aller natürlichen Zahlen
= -1/12
ergibt.
War natürlich erstmal ein "bisschen" überrascht davon, die Beweise klangen aber einleuchtend.

Mein Problem jetzt damit:
Und zwar kam in dem Zusammenhang auch die Reihe 1+1/2+1/3+1/4... vor, die ja divergiert.
Da kam mir dann allerdings etwas komisch vor, die einzelnen Summanden dieser Reihe sind ja allesamt kleiner als die der 1+2+3+4..., divergiert aber trotzdem.
Müsste laut Minorantenkriterium dann nicht auch 1+2+3+4... divergieren?

09.01.2014, 20:35

10001000Nick1

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Kannst du mal einen Link zu dem Video posten?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k \end{eqnarray*}$ konvergiert auf jeden Fall nicht. Das sollte eigentlich jeder verstehen.
Man kann das z.B. so wie du mit dem Minorantenkriterium begründen. Noch einfacher ist es aber, wenn man sagt, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k:=k\quad\forall k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist, und deswegen die Reihe nicht konvergieren kann.

Edit: Geht es um dieses Video?

09.01.2014, 20:36

bijektion

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Geht es um die Summe $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+ \dots \end{eqnarray*}$ ? Die konvergiert nämlich sicher nicht gegen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ . Und ja, die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} n \end{eqnarray*}$ divergiert natürlich.

09.01.2014, 20:40

Gast11022013

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Das ist lustig, ich wollte nämlich auch einen Thread dazu öffnen:

http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Es scheint sich dabei wohl um einen Reihenwert zu handeln den man tatsächlich in der String-Theorie wiederfindet.

Edit: Musste auch direkt an diesen Thread hier denken:

Reihe

09.01.2014, 20:46

stekepego

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http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
http://youtu.be/E-d9mgo8FGk

Ich finde auch keinen Schritt, in dem sie einen mathematischen Fehler begehen.
Nicht das übliche durch Null teilen o.ä. das man gerne mal bei komischen Beweise findet.
Die Zeta Funktion habe ich leider vorher nicht gekannt, daher weiß ich nicht, ob damit etwas nicht stimmt.

Ich glaube mittlerweile fast, dass es da irgendeinen Trick gibt, den man nicht bemerkt, und das ganze ein mathematischer Running Gag ist LOL Hammer

LOL Hammer

, aber dass sie das erstens in einem Buch zeigen, und zweitens man es (sofern sie nicht lügen) auch in der Physik beobachten kann, lässt mich doch sehr stutzig werden.

09.01.2014, 20:46

HAL 9000

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Wahrscheinlich geht es nur um den Zetafunktionswert $\begin{eqnarray*} \zeta(-1)=-\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ , da hat stekepego die eigentlich nur für $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(s)>1 \end{eqnarray*}$ gültige Darstellung $\begin{eqnarray*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} \end{eqnarray*}$ kurzerhand auch für $\begin{eqnarray*} s=-1 \end{eqnarray*}$ "angewandt". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist natürlich genau so ein Blödsinn wie bei der geometrischen Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} 2^k \stackrel{?}{=} \frac{1}{1-2} = -1 \end{eqnarray*}$

zu behaupten.

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09.01.2014, 20:50

stekepego

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Genau um den Funktionswert geht es, aber den habe ja nicht ich angewandt, sondern diese Leute in dem Video, die eigentlich alle auch selbst Wissenschaftler sind Big Laugh

Big Laugh

Also ist das wirklich einfach ein Scherzbeweis, wenn ich das richtig verstehe?

09.01.2014, 20:59

10001000Nick1

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So, ich hab mir das Video mal angeguckt. Den "Beweis" darfst du nicht so ernst nehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für einen "Laien" hört sich das vielleicht erstmal so an, als ob es tatsächlich stimmen würde. Aber da sind ein paar haarsträubende Fehler drin (die natürlich absichtlich gemacht wurden, um so etwas beweisen zu können).

Der erste Fehler in dem Beweis ist $\begin{eqnarray*} 1-1+1-1\pm ...=\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}=\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}$ Diese Reihe kann nicht konvergieren, weil $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.

Nächster Fehler: Es werden einfach zwei nicht-konvergente Reihen addiert, und die Indizes einfach noch ein bisschen verschoben. (Bei $\begin{eqnarray*} 2S_2=... \end{eqnarray*}$ )
Da kann dann natürlich alles Mögliche rauskommen.

Ja, das Ganze ist ein Scherzbeweis. smile

smile

09.01.2014, 21:04

stekepego

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Der erste Fehler in dem Beweis ist $\begin{eqnarray*} 1-1+1-1\pm ...=\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}=\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}$ Diese Reihe kann nicht konvergieren, weil $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.

Nächster Fehler: Es werden einfach zwei nicht-konvergente Reihen addiert, und die Indizes einfach noch ein bisschen verschoben. (Bei $\begin{eqnarray*} 2S_2=... \end{eqnarray*}$ )
Da kann dann natürlich alles Mögliche rauskommen.

Die zwei Sachen haben mich auch stutzig werden lassen, es war auch eher der zweite Beweis der mich zweifeln hat lassen, da ich die Zeta Funktion nicht gekannt habe

Zitat:

Original von 10001000Nick1Ja, das Ganze ist ein Scherzbeweis. smile

smile

Gut, dann hat mich mein Verstand und meine Mathematikkenntnisse doch nicht im Stich gelassen Big Laugh

Big Laugh

Haben sie aber anscheinend wirklich gut gemacht, denn anscheinend spielen alle in den Kommentaren entweder einfach mit, oder Numberphile haben wirklich Tausende Menschen davon überzeugt oO

09.01.2014, 23:20

LonZealot

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Im Sinne des gewöhnlichen Konvergenzbegriffes stimmt dies natürlich nicht, aber es gibt durchaus Methoden um divergenten Reihen Werte zuzuordnen. Zum Beispiel das Bilden des "arithmetischen Mittels" bei der Summe $\begin{eqnarray*} 1 - 1 + 1 - 1 \pm \ldots \end{eqnarray*}$ entspricht dem Cesàro-Mittel. Die Methode, um der Summe $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+\ldots \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ zuzuordnen, nennt sich Ramanujan-Summation.

10.01.2014, 09:23

HAL 9000

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Wie auch immer man das nennt, oft steckt folgendes dahinter (Grundkenntnisse in Funktionentheorie mal vorausgesetzt):

Man definiert eine komplexe Funktion über eine Reihe, z.B. wie hier $\begin{eqnarray*} \zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} k^{-s} \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} g(z) = \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{eqnarray*}$ . Deren Konvergenz ist auch einem Gebiet $\begin{eqnarray*} G\subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gesichert, und die Funktion ist dort holomorph.

Für Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ etwa ist das das Innere des Einheitskreises, also $\begin{eqnarray*} G = \{z \mid |z|<1 \} \end{eqnarray*}$ , und sie besitzt dort die Darstellung $\begin{eqnarray*} g(z) = \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ . Mit derselben Funktionsdarstellung lässt sich zwar $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nun analytisch fortsetzen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ , aber deswegen gilt noch lange nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} z^k \stackrel{?}{=} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|\geq 1,z\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Ähnlich verhält es sich mit $\begin{eqnarray*} \zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} k^{-s} \end{eqnarray*}$ : Wie oben schon erwähnt, konvergiert diese Reihe für alle komplexen $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(s)>1 \end{eqnarray*}$ . Auch $\begin{eqnarray*} \zeta(s) \end{eqnarray*}$ lässt sich analytisch fortsetzen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ , allerdings kennt man da keine so angenehm einfache Darstellung wie obiges $\begin{eqnarray*} g(z) = \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ , was Raum lässt für so interessante Dinge wie die Riemannsche Vermutung. Big Laugh

Big Laugh

21.01.2014, 16:56

Huggy

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Hier

http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10...c-continuation/

findet man mathematische Hintergründe zu diesen scheinbar absurden Summationen

23.02.2014, 12:38

PrototypeX29A

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Hi

Das schöne an dem Video ist, daß nicht nur mathematische Tricks benutzt werden.
Auch andere Kunstgriffe, die in der Wissenschaft leider allzuoft verwendet werden.

1. Sie behaupten dasselbe Ergebnis stände in einem renommierten Buch.
2. Sie blenden ein daß es sich um einen Physiker an einer Universität handelt, was den Eindruck erweckt daß er ja recht haben muß.
3. Es gibt den Verweis auf die Anwendung in der String-Theorie (von der eh die wenigsten Leute wirklich Ahnung haben)
4. Sie zeigen Teile eines viel komplizierteren Beweises der angeblich dasselbe zeigt.

In vielen pseudowissenschaftlichen Dokumentationen findet man dieselben Tricks und die Leute kommen auf die irrwitzigsten Ergebnisse smile

smile

Ich finde das Video ist wirklich gut gemach, wie ein guter Zaubertrick. Da kommt es auch nicht nur auf den Trick drauf an, sondern auf die ganze Inszenierung und die war hier wunderbar!

Gruß,
Proto

23.02.2014, 13:16

Nofeykx

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Haben sie eigentlich irgendwo angemerkt, dass das Schwachsinn ist, was sie da erzählen? Falls nicht wäre ich nämlich wirklich enttäuscht. Bisher fand ich diesen Youtupekanal immer ganz unterhaltsam, würde mich aber weigern so etwas weiter zu unterstützen.

01.08.2014, 14:22

Regulatorius

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Hoi, es gibt auch noch andere Definition von Konvergenz und Divergenz. Und in der Physik gibt es eben keine Unendlichkeiten, man braucht etwas das sich Regulator nennt um divergente Summen zu "beherrschen". Das wird tatsächlich in der Stringtheorie benutzt und es gibt auch Leute das diese Definitionen von Konvergenz und Divergenz natürlichere Definitionen sind und das -1/12 der richtige Wert ist. Was natürlich bei Schlaumeiern die die Geheimnisse der Mathematik intuitiv gelöst haben, nicht so gut ankommt. Auf jedenfall gibt es hier noch ein Beispiel von Jörn Loviscach: hXtXtXpXs:/X/wXwXw.youXtube.coXm/watch?v=td91JFC72Sg&list=UUogSE6uiJyiL31IG-tlxBAw
(die fetten X entfernen). Es gibt auch ein weiteres Beispiel in einem Video von Leonard Susskind zur Stringtheorie wo er die Summe mit e^{irgendwas} multipliziert, und es dann gegen null gehen lässt, leider finde ich die Szene nicht mehr in den Videos, sonst hätte ich es hier vorgerechnet, es gibt auch noch drei weitere Wege diesen Wert zu berechnen. Mehr oder weniger berühmte Physiker z.B. Lawrence Krauss und Brian Greene denken auch das es der richtige Wert der Reihe ist. Das hat nix mit tricks zu tun, sondern naivlinge können halt nicht weiter als ihr Weltbild denken Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.08.2014, 14:40

Regulatorius

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Hier noch mal der Beitrag von Lubos Motl, wo er eine andere Definition die aus der Physik kommt nimmt:

htXtp:/X/motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.htXml

X entfernen :/

05.08.2014, 22:46

hmm..

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Wenn man sich das Feedback zu dem Video durchliest, kriegt man die Vermutung, dass die meisten Zuschauern das tatsächlich für richtig halten.
unglücklich

unglücklich

06.08.2014, 00:56

Stephan Kulla

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Der Wikipedia Artikel 1+2+3+4+... enthält auch einige Informationen zum Thema...

04.11.2015, 16:54

Hubert1965

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Nachdem ich einen eigenen Thread in dieser Sache angefangen habe, nämlich hier: Warum ist 1+2+3+4+... gleich -1/12 ? würde mich schon interessieren, welche Schritte in dem Video tatsächlich unzulässig sind, bzw unter welchen Bedingungen sie zulässig sind.

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