Erwartungswert stetige Zufallsvariable

09.01.2014, 21:30

Master1991

Erwartungswert stetige Zufallsvariable

Ich hab eine auf dem intervall [a,b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable X.

Mein Problem: Im Intervall [0,1] liegt der Erwartungswert bei 0,5 - also dem Mittelwert. Alles soweit ok und auch meine Matlab Grafik sieht gut aus.

Wenn ich nun allerdings ein Intervall von [2,5] nehme geht die Berechnung des Erwartungswertes vollkommen in die Hose. Ich erwarte doch 3,5 oder irre ich mich?

$\begin{eqnarray*} \int_a^b x*f(x) dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b = \frac{b^2}{2} -\frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

Ist das nicht korrekt? .... Wenn das korrekt sein sollte bekomm ich ne Imaginäre Standardabweichung raus...das kann doch alles nicht wahr sein.

09.01.2014, 21:42

HAL 9000

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zu kurz gedacht
Die Dichte der stetigen Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} f(x) = 1_{[a,b]}(x) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{b-a}\cdot 1_{[a,b]}(x) \end{eqnarray*}$ .

Also auf das Intevrall $\begin{eqnarray*} [2,5] \end{eqnarray*}$ bezogen: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3}\cdot 1_{[2,5]}(x) \end{eqnarray*}$ .

09.01.2014, 21:48

Master1991

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RE: zu kurz gedacht
Okay, dann ist der Fehler ja klar, leider kann ich das nicht nachvollziehen. Kannst du mir kurz erklären warum das so ist?

Ich hatte unseren Prof in der Vorlesung so verstanden das die Dichtefunktion 1 sei für eine gleichverteilte ZV X

09.01.2014, 21:51

HAL 9000

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RE: zu kurz gedacht

Zitat:

Original von Master1991
Ich hatte unseren Prof in der Vorlesung so verstanden das die Dichtefunktion 1 sei für eine gleichverteilte ZV X

Nein, das ist eine unzulässige Verallgemeinerung von der Standard-Gleichverteilung auf [0,1].

Kennzeichnend für die stetige Gleichverteilung ist eine konstante Dichte auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , und außerhalb 0, also $\begin{eqnarray*} f(x) = c\cdot 1_{[a,b]}(x) \end{eqnarray*}$ . Und dann muss ja noch die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich 1 sein, also:

$\begin{eqnarray*} 1 = \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x = \int\limits_a^b c ~ \dd x = c\cdot (b-a) \end{eqnarray*}$

Wie groß muss also $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sein? Lehrer

09.01.2014, 21:57

Master1991

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Naja, das muss dann ja logischerweise:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} \end{eqnarray*}$

sein.

Okay, dann hab ich das verstanden. Gut danke dir. Macht irgendwie sinn, das die gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergibt Big Laugh

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