Konvergenz einer Reihe

10.01.2014, 15:05

Alfred Gäbeli

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Hallo Matheboardcommunity, ich möchte die folgende Reihe hier gerne besprechen. Obwohl ich die Lösung habe, bestehen trotzdem noch kleine Unklarheiten, die ich in diesem Thread beseitigen möchte.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-2)^n}{1+(-3)^n} \end{eqnarray*}$

Ich möchte gerne zwei Lösungswege, einmal mit dem Majorantenkriterium und einmal mit dem Quotientenkriterium, besprechen.

Meine Ideen:
Majorantenkriterium:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1+(-2)^n}{1+(-3)^n}|= \frac{1+2^n}{1+3^n}\leq \frac{2^n}{3^n}=(\frac{2}{3})^n \end{eqnarray*}$

also bildet die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (\frac{2}{3})^n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Majorante.
In den Lösungen wird aber folgendermassen abgeschätzt:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1+(-2)^n}{1+(-3)^n}| \leq \frac{2^n+1}{3^n-1}<\frac{2\cdot 2^n}{\frac{1}{2}\cdot 3^n} \end{eqnarray*}$
und die konvergente Majorante ist $\begin{eqnarray*} 4\sum(\frac{2}{3})^n \end{eqnarray*}$

Quotientenkriterium:

Standard wäre hier ja
$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{(1+2^{n+1})}{(1+3^{n+1})} \cdot \frac{(1+3^n)}{(1+2^n)} \end{eqnarray*}$
Weiter bin ich aber nicht gekommen. habe dann bisschen darüber gelesen und folgendes gefunden. Hier muss man aber zwischen geraden und ungeraden unterscheiden. WARUM?? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{2k+1}}{a_{2k}}=\frac{1+(-2)^{2k+1}}{1+(-3)^{2k+1}} \cdot \frac{1+(-3)^{2k}}{1+(-2)^{2k}}=...=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{2k}}{a_{2k-1}}=...=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
und somit würde die Reihe divergieren, was ja offensichtlich flasch ist.

Warum wird in der Musterlösung so "seltsam" abgeschätzt? ist meine Abschätzung nicht gut genug?
Ist mein erster Ansatz für das QK falsch?

10.01.2014, 15:13

10001000Nick1

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
Majorantenkriterium:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1+(-2)^n}{1+(-3)^n}|= \frac{1+2^n}{1+3^n}\leq \frac{2^n}{3^n}=(\frac{2}{3})^n \end{eqnarray*}$

Das ist schon der erste Fehler. $\begin{eqnarray*} \left|\frac{1+(-2)^n}{1+(-3)^n}\right|= \frac{1+2^n}{1+3^n} \end{eqnarray*}$ ist im Allgemeinen falsch.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \left|\frac{1+(-2)^n}{1+(-3)^n}\right|= \frac{|1+(-2)^n|}{|1+(-3)^n|}. \end{eqnarray*}$
Das kannst du jetzt mithilfe der Dreiecksungleichung abschätzen.

10.01.2014, 15:27

Alfred Gäbeli

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Zitat:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \left|\frac{1+(-2)^n}{1+(-3)^n}\right|= \frac{|1+(-2)^n|}{|1+(-3)^n|}. \end{eqnarray*}$ Das kannst du jetzt mithilfe der Dreiecksungleichung abschätzen.

also so:

$\begin{eqnarray*} = \frac{|1+(-2)^n|}{|1+(-3)^n|}\leq \frac{|1|+|(-2)^n|}{|1|+|(-3)^n|}. \end{eqnarray*}$

wie aber fahre ich jetzt fort?
Was passiert mit $\begin{eqnarray*} |(-2)^n| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |(-3)^n| \end{eqnarray*}$ ?
kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} |(-2)^n|=2^n \end{eqnarray*}$ gilt
und meine Abschätzung stimmt nur per Zufall?

10.01.2014, 15:31

10001000Nick1

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Wenn du so abschätzt, vergrößerst du den Zähler und den Nenner. Mit dem gesamten Bruch kann dann alles Mögliche passieren.

Wenn der gesamte Bruch größer werden soll, musst du den Zähler nach oben abschätzen und den Nenner nach unten.
Für den Zähler benutzt du $\begin{eqnarray*} |x+y|\leq |x|+|y| \end{eqnarray*}$ (so wie du es schon gemacht hast).
Für den Nenner nimmst du die umgekehrte Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray*} |x|-|y|\leq|x+y|. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} |(-2)^n|=2^n \end{eqnarray*}$ gilt

Ja, denn $\begin{eqnarray*} |(-2)^n|=|-2|^n=2^n. \end{eqnarray*}$

15.01.2014, 10:40

Alfred Gäbeli

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hallo und sorry fuer die spaete Rueckmeldung.
Ich war skilaufen in den Bergen.
also fuer den Nenner:
$\begin{eqnarray*} |1|+|(-3)^n|\leq |1|-|(-3)^n|=1-3^n \end{eqnarray*}$
es haette doch aber $\begin{eqnarray*} 3^n-1 \end{eqnarray*}$ rauskommen sollen verwirrt

15.01.2014, 11:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Für den Nenner nimmst du die umgekehrte Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray*} |x|-|y|\leq|x+y|. \end{eqnarray*}$

Besser ist diese Ungleichung: $\begin{eqnarray*} ||x|-|y|| \leq |x+y| \end{eqnarray*}$
Das vermeidet die Entstehung eine negativen Terms bei der Abschätzung. smile

15.01.2014, 12:14

Alfred Gäbeli

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danke klarsoweit,
also folgendermassen:

$\begin{eqnarray*} ||1|+|(-3)^n||=|1+3^n|=3^n-1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

15.01.2014, 12:40

klarsoweit

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Nein, so (da hilft ein geneigter Blick auf den Nenner des Summanden): $\begin{eqnarray*} |1 + (-3)^n| \geq ||1| - |(-3)^n|| = |1 - 3^n| = 3^n - 1 \end{eqnarray*}$

Man muß doch nur formal vorgehen. So schwer kann das doch nicht sein. smile

Insbesondere sollte auch klar sein, daß dieses:

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
$\begin{eqnarray*} |1+3^n|=3^n-1 \end{eqnarray*}$

Unfug ist.

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