Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen

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derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Meine Frage:
Ich kann Koordinaten mit zwei Funktionen ausrechen, aber mit nur einer? Ich weiß nicht, wie ich das rechnen soll. Mir fällt absolut nichts ein. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=x(2-x)(x-4). Die Tangente t an den Graphen von f im Berührpunkt B mit > 0 geht durch den Ursprung O (0|0). Berechnen Sie die Koordinaten von B; geben Sie eine Gleichung von t an.
(Analysis 2011-2013; S. 61 Nr. 19)

Kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
Rausgefunden hätte ich bei zwei gegebenen Formeln folgendes:
- Beide Ausgangsformeln ausmultiplizieren
- Beide ausmultiplizierten Formeln gleichsetzen und nach x auflösen -> x-Koordinate
- x-Koordinate in die Ausgangsformel einsetzen -> y-Koordinate
- Erste Ableitung einer Formel aufschreiben und die x-Koordinate einsetzen -> Tangentensteigung
- Tangentensteigung einsetzen in die Formel t(x)=mx+b (m entspricht der Tangentensteigung) und nach b auflösen
- b einsetzen in die die oben genannte Formel -> Tangentenformel.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Willkommen im Matheboard!

Auch hier hast Du zwei Funktionen. Die zweite ist die Tangente, also eine Ursprungsgerade, welche den Graphen der ersten Funktion berührt.

Kannst Du jetzt die Gleichung der zweiten Funktion aufstellen?

Viele Grüße
Steffen
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Tut mir leid, ich komm nicht drauf unglücklich Kannst du mir da bitte ein bisschen helfen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Die allgemeine Form einer Ursprungsgeraden kennst Du doch bestimmt. Die musst Du zunächst mit der ersten Funktion gleichsetzen, um die Schnittpunkte zu finden. Schreib das doch mal zunächst hin.
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
ich hab jetzt folgendes:

t(x)=m*x

t(x0) = f(xo)
m*x = -x^3+6x^2-8x

-> m = -3x^2+12x-8 (1.Ableitung)

eingesetzt:
(-3x^2+12x-8)*x0 = -x^3+6x^2-8x

und jetzt?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Zitat:
Original von derberg96
m*x = -x^3+6x^2-8x


Richtig bis hierhin. Aber mit der Ableitung kommen wir jetzt leider nicht weiter.

Du musst ja einen Berührpunkt finden. Das ist sozusagen ein doppelter Schnittpunkt.

Jetzt?
 
 
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Warum darf ich denn jetzt keine Ableitung verwenden?
Ich steh im Moment total aufm Schlauch unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Weil Du, wie Du siehst, damit nicht weiterkommst. Natürlich hat die Funktion im Berührpunkt die Steigung m, da hast Du recht. Aber so wirst Du den Wert m nicht bekommen - wie denn auch?

Wie gesagt: die Gleichung



hat ja grundsätzlich drei Lösungen, die Graphen haben grundsätzlich drei Schnittpunkte.

Nun ist der erste Schnittpunkt klar: der Ursprung. Den Fall x=0 können wir also schon mal beiseite legen (auf deutsch : ausklammern).

Und dann soll es rechts davon einen Berührpunkt geben. Also keine zwei Schnittpunkte! Die berühren ja nicht, die schneiden, wie zum Beispiel hier:



Kommst Du jetzt weiter?
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Das hat mir jetzt schonmal weitergeholfen, ums zu verstehen.
Wie bekomme ich denn jetzt den Berührpunkt raus?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Indem Du die zwei weiteren Nullstellen der linken Seite bestimmst. Und weil es, wie gesagt, keine zwei Schnittpunkte geben darf, sondern nur einen Berührpunkt, müssen diese beiden Nullstellen...?
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Ich weiß leider nicht, wie ich den Satz vervollständigen soll...
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
... eine doppelte Nullstelle sein.

Wenn Du x aus der kubischen Gleichung ausklammerst (wie empfohlen), bleibt ja eine quadratische Gleichung übrig. Und die darf nicht keine, nicht zwei, sondern genau eine Lösung haben.

Wie bekommt man das hin?
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten mit nur einer Funktion berechnen
Ich komm leider nicht mehr mit, weil ich keine Ahnung habe, was ich jetzt mit Nullstellen will O.o
Die Fragen zu stellen bringt mir leider auch sehr wenig, weil ich durch die Fragen total verwirrt werde...
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Klammere doch mal x aus und schau Dir die quadratische Gleichung an. Die darf nur eine Lösung haben! Wann ist das der Fall?
Stichwort: Diskriminante...
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Diskriminante berechnet man mit der PQ-Formel:



wobei das hier die Diskriminante bestimmt:



Richtig?

Ist die Zahl unter der Wurzel negativ, gibts keine Lösung; bei 0 eine Lösung; bei >0 zwei Lösungen.

Aber die Gleichung lässt sich doch nur in den 3. Grad auflösen oder sehe ich das falsch?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Die ursprüngliche Gleichung ist kubisch, das ist richtig.

Aber - eine Nullstelle haben wir schon, nämlich x=0. Und deshalb kannst Du nun x aus der Gleichung (wie, soweit ich mich erinnere, mehrfach erwähnt Augenzwinkern ) ausklammern. Der Rest, der dann bleibt, ist eine quadratische Gleichung.

Und weil die kubische Gleichung neben der Nullstelle im Ursprung jetzt nur noch eine weitere doppelte Nullstelle haben darf (sonst wär's kein Berührpunkt!), muss die Diskriminante dieser verbleibenden Gleichung Null sein, das hast Du ja schon richtig geschrieben.

Nun setz doch mal diese Diskriminante Null und berechne m.

Viele Grüße
Steffen
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab jetzt folgendes:





Dann hab ich und

Die Diskriminante ist aber 1 und nicht 0. Wie soll ich denn jetzt die Diskriminante 0 setzen?
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung lautet doch wie folgt:



berechnet man m dann so:



?
Thalesman Auf diesen Beitrag antworten »

derberg96, das Wochenende neigt sich dem Ende zu, da werde ich Dich mal erlösen...

Du hast richtig erkannt, daß sich Steffen bei der Diskriminatenbestimmung auf folgenden Ansatz bezogen hat:

Zitat:
Original von Steffen Bühler



Bei diesem Ansatz habt ihr f(x) und t(x) gleichgesetzt, d.h. ihr wolltet alle Punkte ermitteln, die t(x) und f(x) gemeinsam haben. Ziel ist es jetzt, herauszufinden, für welche Steigung m die Gerade t(x) nur 1 weiteren Berührpunkt (außer dem Ursprung) mit der Funktionskurve hat.

d.h.



Hat der Ausdruck in den eckigen Klammern 2 Lösungen, so ergeben sich 2 weitere Schnittpunkte zwischen Gerade und Funktionskurve. Für welchen Wert von m hat der Ausdruck in der eckigen Klammer nur eine Lösung, d.h. die Diskriminante den Wert 0?

Dieser Wert m ist dann die Steigung jener Geraden, die (außer dem Ursprung) nur 1 Berührpunkt mit der Funktionskurve hat. D.h. m ist die Steigung der gesuchten Tangente.
Thalesman Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens ... ich frage mich schon eine Weile, ob für Dich, da Du die Ableitung ja schon beherrscht, nicht auch folgende Bedingung für die Ermittlung der Tangente zielführend gewesen wäre:



mit






Es ergibt sich aus:



eingesetzt in:





Diese x-Werte sind mögliche Kandidaten für den Berührpunkt von f(x) und t(x)

Der Ansatz könnte Dir bekannt vorkommen, da er Dich schon am Freitag zum Ziel geführt hätte... Big Laugh

Zitat:
Original von derberg96
eingesetzt:
(-3x^2+12x-8)*x0 = -x^3+6x^2-8x


Wink
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@Thalesman

Auch für dich gilt das Boardprinzip.
Es gibt keinen Grund, hier in diesen Thread zu schreiben, es gibt nämlich einen Helfer.

derberg96 hat sich mit seiner Antwort Zeit gelassen, dann eilt es nicht mit der Hilfe, da er nämlich überhaupt nicht anwesend ist!

Halte dich also aus Threads raus, bei denen du nicht der Helfer bist.

Vielen Dank.
derberg96 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Thalesmann smile Das war ja auch mein Ansatz mit der Ableitung. Darum gings ja hauptsächlich ._.

@sulo: Ich hab leider noch anderes zu tun, als dauernd im Forum auf eine Antwort zu warten. Außerdem verstehe ich das Boardprinzip von der Logik nicht ganz; weil es ist ja ein Forum. Sonst könnte ich das ja auch in einem privaten Chat klären, wenn mir nur eine Person helfen darf. (Nicht böse gemeint)
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist zwar wünschenswert, dass ein Fragesteller genug Zeit mitbringt, auf eine Antwort zu warten, aber tatsächlich klappt es nicht immer so und der FS schaut halt nur gelegentlich ins Board.
In diesem Fall wird es aber dann so sein, dass der Thread eher schleppend verläuft, denn der Helfer ist natürlich auch nicht rund um die Uhr verfügbar und so wird zwischen den Beiträgen halt jeweils ein gewisser Zeitraum liegen - man antwortet, wenn man im Board ist.
Das muss nicht schlecht sein, wenn der FS einen genügend großen Zeitrahmen hat.

Keinesfalls darf ein solcher schleppend verlaufender Thread als Einladung für andere User gesehen werden, denn sonst gibt es bald niemanden mehr, der sich für den Thread zuständig fühlt.
Grundsätzlich ist es so, dass ein Helfer mit einem Thread auch die Verantwortung für die vollständige Hilfe übernimmt. Daher sollte auch immer nur ein Helfer in einem Thread aktiv sein, da sonst ein Teil der Threads möglicherweise im Sande verlaufen wird, weil niemand wirklich zuständig ist.

Die Ein-Helfer-Pro-Thread-Methode hat sich seit Anfang an bewährt und wird nur selten durchbrochen - und dann von bewährten Helfern, die sich gegenseitig kennen und wissen, wie sie den Thread gemeinsam sinnvoll betreuen können.

smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen an alle Beteiligten, Augenzwinkern

ja, da schau ich am Sonntagvormittag immer wieder hier rein, zuletzt um halb zwei. Dann mach ich die Kiste aus - prompt kommt um halb drei die Antwort. Murphy grüßt...

Ich nehme an, die Aufgabe ist nun gelöst, sowohl mit meinem Ansatz als auch mit demjenigen von Thalesman. Oder gibt's noch Schwierigkeiten?

Viele Grüße
Steffen
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