Verteilung Münzwurf

10.01.2014, 20:05

1nstinct

Verteilung Münzwurf

Hallo zusammen,

Ich scheitere leider schon wieder an den Grundlagen...

Seien $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ i.i.d mit der Verteilung $\begin{eqnarray*} P^{X_i}=\frac 12(\epsilon_0 +\epsilon_1) \end{eqnarray*}$

(also der faire Münzwurf).

Gesucht ist die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z_n=\sum_{j=1}^n\frac {X_j}{2^j} \end{eqnarray*}$ .

Gilt denn einfach $\begin{eqnarray*} P^{Z_n}=\sum_{j=1}^n\frac {(\epsilon_0 +\epsilon_1)}{2^{j+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für eure Hilfe,

MfG

10.01.2014, 21:16

HAL 9000

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Schwer daneben.

Versuch doch erstmal inhaltlich zu verstehen, was hinter der Definition

$\begin{eqnarray*} Z_n=\sum_{j=1}^n\frac {X_j}{2^j} \end{eqnarray*}$

steht (Stichwort: endlicher Binärbruch mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nachkommastellen).

P.S.: Zum Verständnis gehört auch, nicht einfach leichtfertig $\begin{eqnarray*} P^{aX} \stackrel{???}{=} \frac{a}{2} (\epsilon_0 + \epsilon_1) \end{eqnarray*}$ anzunehmen. Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} P^{aX} = \frac{1}{2} (\epsilon_0 + \epsilon_a) \end{eqnarray*}$ ,

was klar sein sollte, sobald man die Symbolik auch wirklich verstanden hat. Augenzwinkern

10.01.2014, 22:27

1nstinct

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Erst einmal vielen Dank für deine Mühe.

Zitat:

P.S.: Zum Verständnis gehört auch, nicht einfach leichtfertig $\begin{eqnarray*} P^{aX} \stackrel{???}{=} \frac{a}{2} (\epsilon_0 + \epsilon_1) \end{eqnarray*}$ anzunehmen. Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} P^{aX} = \frac{1}{2} (\epsilon_0 + \epsilon_a) \end{eqnarray*}$

Das ist mir klar, da nur die Werte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ angenommen werden.

Wird die ZV $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit einem Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ multipliziert, dann nimmt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ entweder $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a\cdot 1=a \end{eqnarray*}$ an.

Zitat:

Versuch doch erstmal inhaltlich zu verstehen, was hinter der Definition $\begin{eqnarray*} Z_n=\sum_{j=1}^n\frac {X_j}{2^j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ ist Teilfolge der n-ten Partialsumme der geometrischen Reihe $\begin{eqnarray*} R_n=\sum_{k=1}^n(\frac 12)^k \end{eqnarray*}$ .

Auch dass man $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ als n-stellige Zahl im Binärsystem darstellen kann, ist mir klar.

Allerdings weiß ich leider nicht, auf was du genau hinauswillst unglücklich

10.01.2014, 22:39

HAL 9000

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Ich will auf

$\begin{eqnarray*} P^{Z_n} = \frac{1}{2^n} \sum_{i=0}^{2^n-1} \epsilon_{\frac{i}{2^n}} \end{eqnarray*}$

hinaus, d.h. die diskrete Gleichverteilung auf den $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Binärwerten

0,000..0
0,000..1
usw.
0,111..1

jeweils Binärzahlen mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nachkommastellen.

10.01.2014, 23:07

1nstinct

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$\begin{eqnarray*} P^{Z_n} = \frac{1}{2^n} \sum_{i=0}^{2^n-1} \epsilon_{\frac{i}{2^n}} \end{eqnarray*}$ heißt doch in Worten:

$\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ nimm mit WS $\begin{eqnarray*} \frac 1{2^n} \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} 0,\frac 1{2^n}, \frac 2{2^n},\frac 3{2^n},..,\frac {2^n-1}{2^n} \end{eqnarray*}$ an.

Mir ist auch klar, dass das die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ ist (jetzt, nachdem ich das an verschiedenen n ausprobiert habe).

Gibt es denn irgendeinen Weg, mit dem man solche Verteilungen bestimmen kann oder ist das reine Übungssache?

MfG

11.01.2014, 09:01

HAL 9000

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Aufgrund ihrer Unabhängigkeit ist die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} (X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray*}$ das Produktmaß ihrer Einzelverteilungen, d.h., jedes Ergebnis- $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel aus Nullen und Einsen ist gleichwahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Und jedem solchen n-Tupel ist über $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n\frac{X_j}{2^j} \end{eqnarray*}$ nun mal genau ein Wert $\begin{eqnarray*} \frac{i}{2^n} \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} i=0,1,\ldots,2^n-1 \end{eqnarray*}$ zugeordnet. Noch Unklarheiten?

11.01.2014, 10:33

1nstinct

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Nein, alles klar Vielen lieben Dank HAL.

Nur ich denke ich wäre niemals alleine auf

Zitat:

im Bereich $\begin{eqnarray*} i=0,1,\ldots,2^n-1 \end{eqnarray*}$

gekommen.

MfG

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