stetigkeit

10.01.2014, 21:36	x^n	Auf diesen Beitrag antworten »
stetigkeit Meine Frage: Guten Tag, Ich habe eine allgemeine Frage zur Stetigkeit, warum ist x^n stetig, da Stetigkeit doch als "kleine Veränderung von x führt zu kleiner Veränderung von y" definiert wird. für x^1000 ist das doch nicht der Fall? Meine Ideen: ka
10.01.2014, 22:01	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
doch ! zum Beispiel für 0<x<1 Dein "klein versus klein" ist kein Kriterium Man könnte natürlich sagen: eine Potenzfunktion $\begin{eqnarray} f : \mathbb R_{+} \to \mathbb R \quad mit \quad x\mapsto x^n \end{eqnarray}$ ist per se stetig.
10.01.2014, 22:54	x^n	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, nach def ist ja \|X-Xo\|< delta so dass \|F(X)-F(Xo)\|< epsilon gefordert, wenn jetzt x=5 für x^1000, dann führt eine Veränderung von X zu Xo mit Xo =6 zu eine sehr großen Veränderung, also \|F(X)-F(Xo)\| sehr groß, so dass epsilon nicht beliebig klein gewählt werden kann. Also ist am Punkt diff \|X-Xo\|= 1, aber \|F(X)-F(Xo)\| gegen unendlich.
10.01.2014, 23:14	darthmalak	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt etwas in deiner Definition...die Korrekte Definition (mal erstmal nur für reelle Funktionen) Die Funktion $\begin{eqnarray} f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \in D \end{eqnarray}$ , wenn zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray} x \in D \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \| x - x_0 \| < \delta \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \| f(x) - f(x_0) \| < \varepsilon \end{eqnarray}$ Anschaulich bedeutet dies: Sperrt man die Funktionwerte der Funktion um ein beliebiges Intervall um den Funktionswert an dieser Stelle ein, so findet man ein delta-Intervall im Definitonsbereich um diese Stelle, sodass die Funktionswerte dort alle in diesem vorgegebenen epsilon-Intervall liegen. Man sich überlegen, dass das für x^n sicherlich der Fall ist. Anschaulich sind das eben alle Funktionen, die keine Sprünge haben (allerdings kann man sich da ein paan unanschauliche Funktionen konstruieren, wo das nicht direkt klar ist und man die Definiton direkt braucht).
10.01.2014, 23:25	x^n	Auf diesen Beitrag antworten »
ok habs verstanden, danke

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