Gebrochenrationale Funktion

11.01.2014, 11:16

Timy

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Gebrochenrationale Funktion

Meine Frage:
Hallo smile

smile

Ich benötige Hilfe zum Einstieg in dieses Thema. Ermittlung von hebbaren Singularitäten, Nullstellen, Polstellen, schräge Asymptoten. Folgende Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3x^3-2x^2-5x+4}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Den Zähler faktorisieren und die Nullstellen ermitteln. Jedoch finde ich keine Nullstelle zum Teiler von 4

11.01.2014, 11:34

Mi_cha

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du kannst mir der Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_{1}=1 \end{eqnarray*}$ anfangen. Die restlichen bekommst du dann mithilfe der Polynomdivision

11.01.2014, 11:46

Timy

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Oh nein wie peinlich unglücklich

unglücklich

Du hast recht.

11.01.2014, 12:26

Timy

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So ich habe jetzt heraus: $\begin{eqnarray*} \frac{3(x-1)^2(x+\frac{4}{3} )}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Somit Singularität bei $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$
Wobei diese behebbar ist, da ich diese Klammer weggkürzen kann.

Nullstellen: $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$
Polstelle : $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Wie berechne ich die schrägen Asymptoten?

11.01.2014, 12:33

Mi_cha

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du musst im Zähler noch die "3" hinzufügen - multipliziere es aus, dann siehst du es.

Du kannst aber nur die Definitionslücke bei x=1 beheben, denn bei (x+1) lässt sich nichts kürzen.

Nullstellen sind bei x=1 (zweifache NS) und x= $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Polstelle nur bei x=-1

Edit:

ich sehe, du hast die 3 schon ergänzt.

Zu den Asymptoten: man dividiert das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom und erhält die Gleichung einer Kurve oder Gerade (wie in diesem Fall) plus eines Restterms, der den gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } =0 \end{eqnarray*}$
Die Asymptote ist das gerade die Kurve/Gerade

11.01.2014, 12:44

Timy

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Mit der Singularität $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ habe ich recht ?

Mit der behebbaren Definitionslücke kann ich nachvollziehen. Das mit der Polstelle verstehe ich nicht, da ich durch das x^2 ja eigentlich Plus und Minus 1 verwenden kann, um den Nenner Null zu bekommen. Kannst du mir das nochmal erklären?

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11.01.2014, 12:52

Mi_cha

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Ja, bei den Singularitäten hast du recht.

Polstellen treten immer dann auf, wenn der Nenner 0 wird, der Zähler aber ungleich 0 ist.
Bei x=1 werden sowohl Zähler aus auch Nenner 0.
Bei x=-1 wird der Zähler ungleich 0 und der Nenner ist weiterhin 0.

11.01.2014, 13:05

Timy

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Ok habe ich verstanden. So sieht meine Polynomdivsion aus

$\begin{eqnarray*} (9x^3-6x^2-15x+12)/(x^2-1) \end{eqnarray*}$

Die 9x^3 bekomme ich weg, aber danach wird es schwierig. Wie geht man vor ?

11.01.2014, 13:10

Mi_cha

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Wie kommst du auf diese Funktion?
Du nimmst einfach $\begin{eqnarray*} \frac{3x^{3}-2x^{2}-5x+4 }{x^{2}-1 } \end{eqnarray*}$ und führst eine Polynomdivision durch.

11.01.2014, 13:19

Timy

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Sry habe das falsch verstanden. $\begin{eqnarray*} (3x^3-2x^2-5x+4)/(x^2-1) \end{eqnarray*}$ Hier habe ich auch das Problem. Ich kann 3x^3 ja genüsslich durch x^2 teilen, aber dann wird es schwierig mit -2x^2 +3x

11.01.2014, 13:34

Mi_cha

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du kannst es dir etwas einfacher machen, wenn du
$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}+x-4 }{x+1 } \end{eqnarray*}$ berechnest.

Auf diesen Term bist du bei der Berechnung der Nullstellen gekommen.

11.01.2014, 13:41

Timy

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$\begin{eqnarray*} 3x-2-\frac{2}{x+1} \end{eqnarray*}$

Wobei ich nicht weiss, wie du auf (X+1) im Nenner kommst. Warum kann man einfach diesen Term benutzen?

11.01.2014, 13:47

Mi_cha

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das Ergebnis ist richtig, die Asymptote ist demnach $\begin{eqnarray*} 3x-2 \end{eqnarray*}$

Wenn man bei der Ausgangsfunktion zunächst druch $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ dividiert, kommt man auf besagte Funktion. Das erleichtert die Polynomdivion ein wenig.

11.01.2014, 13:55

Timy

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Ich komme nicht darauf, wenn ich durch x-1 dividiere.

11.01.2014, 14:02

Mi_cha

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du hast ja die Nullstellen ganz zu beginn der Aufgabe richtig berechnet. Dazu musstest du ja den Zähler durch (x-1) teilen. Wenn man das richtig macht, kommt 3x²+x-4 heraus [das müsstest du auch irgendwo stehen haben]. Den Nenner auch noch durch (x-1) teilen und man hat

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}+x-4 }{x+1 } \end{eqnarray*}$

Das ist die gleiche Funktion wie in der Aufgabenstellung, wobei lediglich die Definitionslücke entfernt wurde.

11.01.2014, 14:08

Timy

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$\begin{eqnarray*} (x^2-1)/(x-1)=x.... \end{eqnarray*}$

Ich komme nicht weiter, weil ich -1+x rechnen muss. Das geht doch nicht verwirrt

verwirrt

11.01.2014, 14:10

Timy

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Nein quatsch das geht. Man betrachtet x-1 durch x-1 und daraus wird +1.

Jetzt habe ich noch ein paar Fragen zu der Asymptoten.
Was kann ich jetzt aus dem Ergebnis entnehmen?
Was ist eine schräge Asymptote und nur eine Asymptote?

11.01.2014, 14:16

Mi_cha

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denk an die 3. binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-1 }{x-1} = \frac{(x-1)*(x+1)}{(x-1)} = x+1 \end{eqnarray*}$

Es gibt im Grunde 3 verschiedene Arten von Asymtpoten:
waagerechte Asy.
senkrechte Asy. -> immer an den Polstellen
"schräge" Asy. -> erhält man mittels Polynomdiv. (immer wenn der Grad des Zählers genau um 1 größer ist als der Grad des Nenners erhält man eine Gerade)

Die Asymptote gibt quasi eine Grenze an, an die sich die Funnkton immer weiter annähert, sie aber nie erreicht.

11.01.2014, 14:28

Timy

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Gut zu wissen smile

smile

Ich hab hier noch eine Aufgabe. Bestimmen sie eine Funktion mit maximalen Definitionsbereich, die folgende Bedingung erfüllt:

i)Polstellen: x= $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$
ii)Nullstellen: $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$
iii) Schräge Asymptote y=3x+14

Das müsste die Funktion für die Null- und Polstellen sein $\begin{eqnarray*} f=\frac{x^2+2}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich die schräge Asymptote?

11.01.2014, 14:31

Mi_cha

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wofür steht denn
i) $\begin{eqnarray*} x=\pm 2 \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Nullstellen, Polstellen? Was ist was? verwirrt

verwirrt

11.01.2014, 14:40

Timy

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Ich hab den Text korrigiert smile

smile

11.01.2014, 14:54

Timy

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So ich habe was dazu gefunden. 1. Unbekannte hinzufügen (z.b a) und dann Polynomdivison

Jetzt habe ich folgendes Ergebnis aus der Polsnomdivision $\begin{eqnarray*} a(1+\frac{1}{x^2+1}) \end{eqnarray*}$

kann damit aber nichts anfangen.

11.01.2014, 15:01

Mi_cha

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ich kann dir im Moment zeitlich nicht weiterhelfen, vielleicht kann ein anderer einspringen.
Nur noch soviel: wenn $\begin{eqnarray*} x=\pm 2 \end{eqnarray*}$ Polstellen sind, dann enthält das Nennerpolynom edn Faktor $\begin{eqnarray*} x^{2}-4 \end{eqnarray*}$ .
Ebenso bei den Nullstellen: $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$ bedeutet das, dass das Zählerpoylnon den Faktor $\begin{eqnarray*} x^{2}-1 \end{eqnarray*}$ enthält.
Immer an die 3. bin. Formel denken Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2014, 15:19

Timy

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Stimmt. Danke für deine Zeit und Hilfe smile

smile

11.01.2014, 17:40

Timy

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Vielleicht kann jemand über mein Ergebnis gucken smile

smile

Ergebnis aus der Polynomdivision: $\begin{eqnarray*} a(1-\frac{3}{x^2-1} ) \end{eqnarray*}$

Allgemeine Funktion: $\begin{eqnarray*} y=\frac{3x^3+14x^2-12x-56}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

12.01.2014, 20:30

MatheIstLustig

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Falls die Aufgabenstellung lautet:

Zitat:

i)Polstellen: x= $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$
ii)Nullstellen: $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$
iii) Schräge Asymptote y=3x+14

sind bei deiner Lösung

Zitat:

Allgemeine Funktion: $\begin{eqnarray*} y=\frac{3x^3+14x^2-12x-56}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Nullstellen und Polstellen vertauscht.
Wenn ich dies berücksichtige, lautet der richtige Ansatz: $\begin{eqnarray*} (3x+14) \cdot (1+\frac{a}{x²-4}) \end{eqnarray*}$ .
Mit der Information ii) zu den Nullstellen kann die Variable a im zweiten Faktor berechnet werden.

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