Obersumme: Integralrechnung

11.01.2014, 12:23

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Obersumme: Integralrechnung

Guten Morgen smile

smile

Wir gehen von der Normalparabel aus: $\begin{eqnarray*} x^{2}=f(x) \end{eqnarray*}$

Ich versuche gerade die exakte Berechnung eines Parabelsegmentes zu verstehen.

Obersumme:

$\begin{eqnarray*} O_n=\frac{1}{n} \cdot \left[\left(\frac{1}{n}\right)^{2} + \left(\frac{2}{n}\right)^{2} + ... + \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2} + 1^{2}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_n=\frac{1}{n^{3}} \cdot \left[1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + (n-1)^{2} + n^{2}\right] \end{eqnarray*}$

Bis hierhin habe ich alles verstanden smile

smile

Jetzt kommt irgendein Summenzeichen Namens "Sigma" unglücklich

unglücklich

. Ich würde sagen, dass die Laufvariable: $\begin{eqnarray*} n= \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ und der Endwert ist in dem Fall $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und die Laufvariable bezüglich der Funktion wäre in dem Fall: $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ .

Habe das aber so in den Taschenrechner eingegeben, aber es kommt irgendein Müll raus unglücklich

unglücklich

Ich bedanke mich schon im voraus smile

smile

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11.01.2014, 13:06

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das (große) "Sigma" im griechischen Alphabet ist das Summenzeichen $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$

Mit der Laufvariablen i von i=1 bis, sieht es dann so aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \end{eqnarray*}$

Folglich kann man $\begin{eqnarray*} \left[1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + (n-1)^{2} + n^{2} \right] \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Summenzeichen so darstellen: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2=1^2+2^2+3^3+ \ldots \end{eqnarray*}$

Dabei gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2= \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1)\cdot (2n+1) \end{eqnarray*}$ . Das kann man dann verwenden.

Ich hoffe, das hilft dir deine Aufzeichnungen besser nachzuvollziehen.

Grüße.

11.01.2014, 13:11

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe

smile

Müsste man dann noch Theoretisch

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2= \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1)\cdot (2n+1) \end{eqnarray*}$

Alles mit 1/n^3 multiplzieren?

11.01.2014, 13:18

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Freude

Günstig ist es, wenn man jeweils aus den Faktoren $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2n+1) \end{eqnarray*}$ den Faktor n ausklammert. Dann lässt sich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ sehr schön herauskürzen.

11.01.2014, 13:29

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du quasi jeden einzelnen Faktor ?

Also quasi so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6 \cdot n} \cdot n \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \end{eqnarray*}$

11.01.2014, 13:43

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Eher so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2= \frac{1}{6}\cdot n \cdot \left( n \cdot \frac{n+1}{n} \right) \cdot \left( n \cdot \frac{2n+1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Die Klammern sind nur zur Hervorhebung der Faktoren, bei denen mit dem Faktor n erweitert wurde.

Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Genauso kann man dann $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n} \end{eqnarray*}$ umformen.

Anzeige

11.01.2014, 13:49

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Diesen Schritt habe ich leider nicht verstanden unglücklich

unglücklich

Ich weiß, dass du beide Klammern mit n erweitert hast, aber muss dann nicht, welches außerhalb der Klammer steht auch mit n erweitern ?
Ich weiß auch warum, dass n im Nenner steht. Es liegt am 1/ n^3

Müsste aber nicht auch bei 1/6 oder bei n auch ein n im nenner stehen unglücklich

unglücklich

11.01.2014, 14:06

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von L'amour

Ich weiß, dass du beide Klammern mit n erweitert hast, aber muss dann nicht, welches außerhalb der Klammer steht auch mit n erweitern ?

Dazu bist du nicht gezwungen. Es geht im Prinzip darum, dass die Faktoren (n+1) und (2n+1) gegen einen bestimmten Grenzwert laufen, wenn man erst jeweils n ausklammert und dann n gegen Unendlich laufen lässt.

Zitat:

Original von L'amour
Ich weiß auch warum, dass n im Nenner steht. Es liegt am 1/ n^3

Ziel ist es, dass n*n*n im Zähler steht. Genau dann kann man es mit $\begin{eqnarray*} 1/n^3 \end{eqnarray*}$ kürzen. Das ist hier der Fall:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2= \frac{1}{6}\cdot \textcolor{red}{n} \cdot \left( \textcolor{red}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \right) \cdot \left( \textcolor{red}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von L'amour
Müsste aber nicht auch bei 1/6 oder bei n auch ein n im nenner stehen unglücklich

unglücklich

Das kann man unberücksichtigt lassen, da sich n wegkürzt und 1/6 ein eindeutiger Wert ist.

11.01.2014, 14:24

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche das gerade nachzuvollziehen verwirrt

verwirrt

Also muss man deshalb die Klammern mit n erweitern, damit man quasi 1/n^3 kürzen kann.
Hat man dann nicht quasi:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2= \frac{1}{6}\cdot \left(n+1\right) \cdot \left(2n+1 \right) \end{eqnarray*}$

Weil sich die n´s im Zähler und im Nenner kürzen oder? verwirrt

verwirrt

11.01.2014, 14:39

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von L'amour

Also muss man deshalb die Klammern mit n erweitern, damit man quasi 1/n^3 kürzen kann.

Ja.

Zitat:

Original von L'amour
Hat man dann nicht quasi:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2= \frac{1}{6}\cdot \left(n+1\right) \cdot \left(2n+1 \right) \end{eqnarray*}$

Weil sich die n´s im Zähler und im Nenner kürzen oder? verwirrt

verwirrt

Deine Gleichung stimmt nicht ganz. Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2= \frac{1}{6} \cdot n \cdot \left(n+1\right) \cdot \left(2n+1 \right) \end{eqnarray*}$

Ansonsten bist du jetzt wieder ein paar Schritte zurückgegangen. Ich hatte ja schon jeweils n aus den beiden hinteren Faktoren ausgeklammert.

Insgesamt steht jetzt da

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^3}\cdot \sum_{i=1}^n i^2=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{1}{6}\cdot \textcolor{red}{n} \cdot \left( \textcolor{red}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \right) \cdot \left( \textcolor{red}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Soweit klar ?

Wenn ja, wie kann jetzt gekürzt werden ?

11.01.2014, 14:46

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur eines verstehe ich nicht, warum befindet sich im Nenner ein n ?
Ich denke, dass ich garnicht weiß, wie man eigentlich die n´s ausklammert unglücklich

unglücklich

^^

Allerdings sind mir die anderen Dinge klar und weiß jetzt auch, welches man kürzen kann. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^2=\frac{1}{6} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right) \cdot \left( \frac{2n+1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

11.01.2014, 15:05

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim ausklammern gilt: $\begin{eqnarray*} a=n\cdot \left( \frac{a}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Letztendlich darf das Ausklammern den Term nicht verändern. Man multiplizert einen Term (hier a) mit n und dividiert ihn gleichzeitig durch n.

11.01.2014, 15:10

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe alles verstanden Freude

Freude

Komme auf: A = 1 / 3 smile

smile

Vielen Dank

Ich habe sehr viel dazu gelernt Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

11.01.2014, 15:16

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von L'amour

Komme auf: A = 1 / 3 smile

smile

Komme ich auch.

Freut mich, dass alles klar ist. smile

smile

11.01.2014, 15:17

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank smile

smile

Schönen Tag noch

11.01.2014, 15:19

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Ich wünsche Dir auch noch einen schönen Tag (+Sonntag).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »