Stetige Funktion finden

11.01.2014, 16:08

Shiby

Stetige Funktion finden

Hallo Leute,
ich soll folgende Aufgabe lösen bin mir aber unsicher, ob meine Überlegungen stimmen.

Finden Sie eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{Q} \to \{0, 1\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f(1) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Ich hab mir überlegt, wenn ich als Funktionsvorschrift festlege, dass für

x gerade f(x)=0
x ungerade f(x)=1
x=0 f(0)=0

Was passiert denn für z.B $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ? Ist das überhaupt definiert ?

11.01.2014, 16:16

dastrian

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RE: Stetige Funktion finden
So kannst du eine Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ nicht definieren, denn die Bezeichnungen "gerade" und "ungerade" sind erstmal nur für ganze Zahlen definiert. Wie du selbst schon gemerkt hast, erfasst deine Vorschrift also keine echten Brüche.

11.01.2014, 16:32

Shiby

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Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben.

Irgendwie glaube ich das die Aufgabe so nicht lösbar ist, da man nur auf 0 und 1 abbilden kann. An irgendeiner Stelle muss es doch dann einen Sprung geben und somit ist die Funktion nicht stetig.

11.01.2014, 17:15

dastrian

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Genau. Der Trick ist, diesen "Sprung" auf eine Stelle zu legen, die nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ liegt.
(Schon jetzt die Warnung: Das ist sehr anschaulich und reicht nicht als strenge Begründung für die Stetigkeit der Funktion)
Gehe so vor: Denke dir eine Funktion in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aus, die nur auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abbildet. Lass sie nur eine einzige Unstetigkeitsstelle haben und diese in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ liegen. Dann schränke die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein und untersuche dort ihre Stetigkeit.

11.01.2014, 17:27

Nofeyks

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Übrigens ein gutes Beispiel dafür warum die Vorstellung, Stetigkeit mit Sprungstellen zu assozieren nur für die Schule etwas taugt.

12.01.2014, 15:01

Shiby

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Danke für eure Antworten, ich hab mir jetzt mal die Funktion ausgedacht.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x <\sqrt{2}, f(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x >\sqrt{2}, f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

So jetzt hab ich eine Funktion die in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nur auf 0 und 1 abbildet und eine Unstetigkeitsstelle bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ besitzt. Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\in\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , wie gewünscht.

Wie soll ich das nun auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ einschränken das verstehe ich nicht.

12.01.2014, 15:11

dastrian

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Zitat:

Original von Shiby
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x <\sqrt{2}, f(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x >\sqrt{2}, f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht. Wenn du in deine Definition für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zum Beispiel $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann kommt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1 \notin \{0,1\} \end{eqnarray*}$ raus.

Du machst dir das Leben zu kompliziert, Junge. Nimm doch die gewünschten Eigenschaft einfach zur Definition deiner Funktion:
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 1, & x \leq \sqrt{2} \\ 0, & x > \sqrt{2} \end{cases} \end{eqnarray*}$
Und mit $\begin{eqnarray*} g := f\mid_{\mathbb{Q}} \end{eqnarray*}$ meinen wir nun die "Einschränkung" von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Ausführlich kann man das so formulieren:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{Q} \rightarrow \{0,1\} \end{eqnarray*}$ habe $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , hat aber im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als Definitionsbereich.

So weit alles klar?
Wenn ja, dann kommt nun die Behauptung: $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist stetig.

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