Wo liegt der Unterschied? - 2 Beispiele d. Kombinatorik

11.01.2014, 16:29

da_zodelte

Wo liegt der Unterschied? - 2 Beispiele d. Kombinatorik

Meine Frage:
Liebe Community,

hier mal zwei Aufgaben. Leider vermute ich, dass meine Lösungen nicht ganz richtig ist. Wär schön, wenn ihr mir sagen könntet, auf was ich bei dieser Art von Fragenstellung achten muss und wie ich die richtige Formel anwende.

1) Zu einer Party haben Sie für Ihre Gäste Bier gekauft. Sie haben von drei Sorten jeweils 24 Flaschen im Keller und wollen einige Flaschen im Kühlschrank kalt stellen. Der Kühlschrank fasst aber nur 12 Flaschen. Wie groß ist die Anzahl der Möglichkeiten, 12 Flaschen auszuwählen und im Kühlschrank zu verstauen?
Tipp: Inwiefern ist die Angabe, dass 24 Flaschen je Sorte vorhanden
sind, relevant?

2) Eine Basketballmannschaft besteht aus 9 Spielerinnen.

a) Wie viele Möglichkeiten hat die Trainerin, 5 Startspielerinnen auszuwählen?
b) Nach der Halbzeitpause sollen 3 der Startspielerinnen und 2 der Spielerinnen, die bisher noch nicht gespielt haben, aufs Feld. Wieviele solcher Kombinationen sind möglich?

Meine Ideen:
1) 3 Kästen á 24 Flaschen macht gesamt 72 Flaschen.
Auf die erste Flasche gibts also 72 Möglichkeiten, auf die zweite noch 71, dann 70, usw., bis einschließlich 61.
$\begin{eqnarray*} M = \frac{72!}{60!} \end{eqnarray*}$

2) Meines Erachtens ist die Aufgabe nicht eindeutig gestellt. Wenn jede Spielerin jede Position spielen kann ist es ja ein anderes Ergebnis als wenn dies nicht gegeben ist. Im folgenden gehe ich davon aus, dass jede Spielerin alles spielen kann, die Positionen aber unterschieden werden können.
a) selbe wie unter 1. -->
$\begin{eqnarray*} M = \frac{9!}{4!} \end{eqnarray*}$

b) Aus den fünf Startspielerinnen werden 3 ausgewählt (5*4*3). Und aus den Auswechselspielerinnen ebenfalls 2 (4*3)
$\begin{eqnarray*} M = \frac{5!}{2!} * \frac{4!}{2!} \end{eqnarray*}$

Wär schön, wenn ihr mir da eine hilfreiche "Vorgehensanleitung" geben könntet.

Viele Grüße,
Jens

11.01.2014, 16:39

HAL 9000

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RE: Wo liegt der Unterschied? - 2 Beispiele d. Kombinatorik

Zitat:

Original von da_zodelte
1) 3 Kästen á 24 Flaschen macht gesamt 72 Flaschen.
Auf die erste Flasche gibts also 72 Möglichkeiten, auf die zweite noch 71, dann 70, usw., bis einschließlich 61.
$\begin{eqnarray*} M = \frac{72!}{60!} \end{eqnarray*}$

Das wäre die richtige Anzahl, wenn

a) Alle 72 Flaschen voneinander unterscheidbar angesehen werden, und

b) die Reihenfolge der Auswahl (etwa durch entsprechende Platzierung im Kühlschrank) berücksichtigt werden soll.

Ich hätte in beiden Fragen eine andere Position eingenommen: D.h., Flaschen derselben Biersorte würde ich als ununterscheidbar ansehen, und die Reihenfolge im Kühlschrank als egal ansehen. Augenzwinkern

Auch bei 2) denke ich, dass es hier um bloße Auswahl geht, also nicht positionsbezogen - das hätte m.E. in der Aufgabenformulierung besonders betont werden müssen.

11.01.2014, 17:17

da_zodelte

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RE: Wo liegt der Unterschied? - 2 Beispiele d. Kombinatorik
Danke für die flotte Antwort:

1) Hier hab ich es jetzt einfach stupide, systematisch aufgeschrieben und gezählt. Nach folgender Idee. Wenn ich 12 Flaschen von der einen Sorte nimm, kann ich keine anderen Flaschen mehr rein tun --> 1 Möglichkeit. Wenn ich von derselben Sorte nur 11 Flaschen nimm, kann ich von den jeweils anderen eine oder keine nehmen --> 2 Möglichkeiten. Usw usw.
Somit komm ich insgesamt auf 91 Möglichkeiten. Sollte eig. stimmen...
Doch wie find ich hierfür ne Formel?

2) a) $\begin{eqnarray*} M=9+8+7+6+5 = 35 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} M=(9+8+7) * (4+3) = 168 \end{eqnarray*}$

11.01.2014, 18:07

HAL 9000

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Zu 1) Es werden k=12 Flaschen ausgewählt aus n=3 Sorten mit möglicher Mehrfachwahl und ohne Berücksichtigung der Auswahlreihenfolge

--> Kombinationen mit Wiederholung, Anzahl $\begin{eqnarray*} \binom{n+k-1}{k} = \binom{14}{12} = \binom{14}{2} = \frac{14\cdot 13}{2} = 91 \end{eqnarray*}$

Die Anzahl 24 Flaschen pro Sorte ist insofern nur von Bedeutung, dass "genügend" Flaschen von jeder Sorte da sind, dass im Extremfall auch alle 12 ausgewählten Flaschen von derselben Sorte sind, d.h. die Mehrfachwahl ohne jede Einschränkung möglich ist. Sind z.B. von jeder Sorte nur 10 Flaschen da, dann muss die Rechnung modifiziert werden, d.h., es geht dann nicht mehr einfach durch pure Anwendung der obigen Grundformel ab. Augenzwinkern

Bei 2) Wie kommst du auf + ? unglücklich

2a) ist eine ganz einfache Auswahlgeschichte von k=5 aus n=9 Spielerinnen (Kombinationen ohne Wiederholung).

12.01.2014, 11:31

da_zodelte

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Vielen Dank. Hast mir schon gut weitergeholfen. Bei mir war bisher im Kopf immer abgespeichert, dass gilt $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ . Anscheinend ist dies aber keine zwingende Voraussetzung...

Und ja, wie ich auf plus komm bei 2 kann ich dir nicht erklären. Weiß ich ja selbst nicht recht.
Hier also mein Lösung für 2a:
M = "n über k" (weiß nicht wie ich das in latex schreib. wär lieb, wenn du mir das kurz sagen könntest)

Und bei b eigentlich dann ähnlich:
M = "5 über 3" * "4 über 2"

12.01.2014, 12:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von da_zodelte
M = "n über k" (weiß nicht wie ich das in latex schreib. wär lieb, wenn du mir das kurz sagen könntest)

Ich hab ja in meinem letzten Beitrag Binomialkoeffizienten verwendet. Und rechts oben im Beitragskasten gibt es einen Button

[attach]32642[/attach]

den solltest du mal probieren. Augenzwinkern

12.01.2014, 13:06

da_zodelte

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ach ok

.

Hier also nun meine Lösung mit Latex. Wär schön, nochmal ein abschließendes Kommentar zu bekommen, ob das nun stimmt.

a) $\begin{eqnarray*} M = \left(^{n} _{k}\right) = \left(^{9} _{5}\right) = \frac{9*8*7*6}{4*3*2*1} = 126 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} M = \left(^{5} _{3}\right) * \left(^{4} _{2}\right) = \frac{20}{2} * \frac{12}{2} = 60 \end{eqnarray*}$

12.01.2014, 13:45

HAL 9000

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Die Resultate sind richtig.

P.S.: Eigentlich hätten dich die Zitate zur Verwendung \binom{n}{k} führen sollen. Augenzwinkern

12.01.2014, 15:48

da_zodelte

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Vielen Dank!

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