Topologie Produkte

11.01.2014, 19:19

LuanaM

Topologie Produkte

Meine Frage:
Hallo,

durch Beweis oder Gegenbeispiel soll gezeigt werden, dass folgende Aussage wahr oder falsch ist:

Gibt es in X zwischen je zwei Punkten $\begin{eqnarray*} x,y \in X \end{eqnarray*}$ einen stetigen weg, also eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} w:[a,b] \to X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w(a) =x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w(b)=y \end{eqnarray*}$ , so gilt das auch für $\begin{eqnarray*} X x X \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
In einem Skript im netz habe ich eine Aussage gefunden, dort heißt es wenn die wege den gleichen beginn und das gleiche Ende haben sind sie homotop...

Ich danke euch für die hilfe

hier der link: http://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/top/leit/leit5.htm

11.01.2014, 19:31

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Topologie Produkte

Zitat:

Original von LuanaM
In einem Skript im netz habe ich eine Aussage gefunden, dort heißt es wenn die wege den gleichen beginn und das gleiche Ende haben sind sie homotop...

Das stimmt nur in einfach zusammenhängenden Räumen, die aber gerade darüber definiert sind.
Außerdem hat das nichts mit deiner Aufgabe zu tun Augenzwinkern

Schreib dir doch mal genau auf, was diese Eigenschaft bedeutet, die du in $\begin{eqnarray*} X\times X \end{eqnarray*}$ überprüfen sollst. Findest du das plausibel? Versuchst du lieber einen Beweis oder ein Gegenbeispiel zu finden?

11.01.2014, 20:49

LuanaM

Auf diesen Beitrag antworten »

ok... Ich hoffe ich blamiere mich nicht allzu sehr. Versuch 1:

Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung
d: X × X → R

für die gilt
a) positive Definitheit
b) Symmetrie
c) Dreiecksumgleichung

stetige Abbildung bzw. stetigen weg (???):

Ein Weg f heißt geschlossener Weg, wenn f(a)=f(b) ist. Ein geschlossener Weg liefert eine stetige Abbildung vom Einheitskreis S^1 (1-Sphäre) nach X. Einen geschlossenen Weg nennt man auch Schleife.

verwirrt

11.01.2014, 20:53

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es denn nur um metrische Räume oder allgemeiner um topologische Räume?

Und von geschlossenen Wegen ist hier gar nicht die Rede. Im Gegenteil: Es ist nach der Existenz eines (stetigen) Weges gefragt, wenn man Start- und Endpunkt vorgibt.

11.01.2014, 20:56

LuanaM

Auf diesen Beitrag antworten »

um topologische Räume...

Ich stehe Grad fies auf dem Schlauch unglücklich

11.01.2014, 21:00

LuanaM

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und von geschlossenen Wegen ist hier gar nicht die Rede. Im Gegenteil: Es ist nach der Existenz eines (stetigen) Weges gefragt, wenn man Start- und Endpunkt vorgibt.

Ach Moment...

Ist X ein topologischer Raum, so nennt man eine stetige Abbildung w : I → X einen Weg in X, man nennt w(0) seinen Anfangspunkt, w(1) seinen Endpunkt, und man sagt, dass w ein Weg von w(0) nach w(1) ist. Ist w(0) = w(1), so nennt man w eine Schlinge

11.01.2014, 21:03

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
In deinem Fall brauchst du aber den letzten Satz nicht und verwendest $\begin{eqnarray*} I=[a,b] \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} I=[0,1] \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt: Schreib mal genau auf, welche Eigenschaft du überprüfen sollst. D.h. was bedeutet das "das" in "so gilt das auch für $\begin{eqnarray*} X \times X \end{eqnarray*}$ "?

11.01.2014, 21:46

LuanaM

Auf diesen Beitrag antworten »

X x X ist wörtlich doch:

Produkttopologie = "Eigenschaft" die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

oder ?

also, wenn es einen stetigen Weg in X gibt so gibt es auch einen stetigen Weg in der Produkttopologie.

Ist das, das was ich zeigen oder widerlegen soll? verwirrt

11.01.2014, 21:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, $\begin{eqnarray*} X\times X \end{eqnarray*}$ ist zunächst die Menge aller Tupel $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in X \end{eqnarray*}$ .
Jetzt sollst du überprüfen, ob für alle $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2),(x_1',x_2')\in X\times X \end{eqnarray*}$ ein (bezüglich der Produkttopologie stetiger) Weg $\begin{eqnarray*} w=(w_1,w_2)\colon I\to X\times X \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} w(a)=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w(b)=(x_1',x_2') \end{eqnarray*}$ .

11.01.2014, 22:33

LuanaM

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

"Ein Produkt
Q
Xj nichtleerer topologischer R¨aume ist genau dann
zusammenh¨angend, wenn jeder Faktor Xj zusammenh¨angend ist. Die Zusammenhangskomponente
eines Punktes (xj) 2
Q
Xj ist das Produkt der Zusammenhangskomponenten
der xj . Das Entsprechende gilt f¨ur den Wegzusammenhang"

aus der internet Seite uni-math.gwdg.de/tammo/sos.pdf S. 23

Ich danke dir für deine Hilfe, aber ich kann es nicht zeigen. Mir fehlt die Kenntnis wie.
Ich glaube ich gebe auf. Ich sitze seit Stunden dran. Das Thema ist mir neu und mir fehlt das nötige know how.

Danke dir trotzdem sehr.

11.01.2014, 22:36

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das zitierte Resultat über den Wegzusammenhang auch bewiesen wurde, kannst du den Beweis nachvollziehen und übernehmen...

11.01.2014, 22:59

LuanaM

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Beweis steht dort :

Ist X zusammenhängend, so auch $\begin{eqnarray*} X_{j} \end{eqnarray*}$ als stetiges Bild. Seien X und
Y zusammenhängend. Nach (8.2) ist $\begin{eqnarray*} X \times y \cup x \times Y \end{eqnarray*}$ zusammenhängend. Also
liegen $\begin{eqnarray*} (x1, y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x, y1) \end{eqnarray*}$ immer in derselben Komponente. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} X × Y \end{eqnarray*}$
zusammenhängend und allgemeiner ein endliches Produkt zusammenhängender
Räume.
Ist $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ unendlich und $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{j} X_j = U+V \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung, so gibt es nach
Definition der Produkttopologie in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ Punkte, die bis auf endlich viele
Koordinaten übereinstimmen; nach der Überlegung über endlich viele Faktoren
liegen sie in derselben Komponente. Sei $\begin{eqnarray*} K(x_j) \end{eqnarray*}$ die Komponente von $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} L = \prod\limits_{j}K(x_j) \end{eqnarray*}$ zusammenhängend, also in der Komponente K von
$\begin{eqnarray*} x = (x_j | j \in J) \end{eqnarray*}$ ) enthalten. Durch Projektion auf die Komponenten sieht man, daß K im Produkt L enthalten ist.

Durch Projektion auf die Komponenten sieht man,
daß K im Produkt L enthalten ist.

Ich sehe nix traurig

Ausserdem habe ich X x X und nicht X x Y... das unterscheidet sich bestimmt... Ich habe gelesen, dass X x X definiert ist als die gröbste Topologie

11.01.2014, 23:03

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LuanaM
Ich sehe nix traurig

Das ist auch nur der Beweis für die Aussage über den Zusammenhang. Die über den Wegzusammenhang (bzw. deine Aufgabe) ist deutlich leichter.

Zitat:

Ausserdem habe ich X x X und nicht X x Y... das unterscheidet sich bestimmt...

Das ist nur der Spezialfall $\begin{eqnarray*} X=Y \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich habe gelesen, dass X x X definiert ist als die gröbste Topologie

Nein, $\begin{eqnarray*} X\times X \end{eqnarray*}$ ist zunächst einmal eine Menge. Auf dieser wird diejenige Topologie betrachtet, welche die gröbste ist, mit welcher die Projektionen auf die einzelnen Komponenten noch stetig sind.

Du brauchst folgenden Satz:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f=(f_1,f_2)\colon Y\to X\times X \end{eqnarray*}$ von einem topologischen Raum $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X\times X \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn es die einzelnen "Komponenten" $\begin{eqnarray*} f_1,f_2\colon Y\to X \end{eqnarray*}$ sind (die Verknüpfungen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit den Projektionen).

Neue Frage »

Antworten »

Topologie Produkte

Verwandte Themen