1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12?

11.01.2014, 21:36	Roper	Auf diesen Beitrag antworten »
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12? In diesem Video wird ein Beweis für die folgende Behauptung vorgestellt: $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{n=1}^{\infty} n = -\frac{1}{12}<br /> \end{eqnarray}$ Hier der Beweis: Sei $\begin{eqnarray} S = \sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots \end{eqnarray}$ Betrachte: $\begin{eqnarray} <br /> S_{1} &=& 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1) = 1 - S_{1} \\ &\implies & S_{1} = \frac{1}{2}<br /> \end{eqnarray}$ Weiterhin: $\begin{eqnarray} <br /> S_{2} &=& 1 - 2 + 3 - 4 + \ldots \\<br /> 2S_{2} &=& 1 - 2 + 3 - 4 + \ldots \<br /> && \phantom{1} + 1 - 2 + 3 - 4 \ldots \\<br /> &=& 1 - 1 + 1 - 1 \ldots = S_{1} \\<br /> &\implies& S_{2} = \frac{1}{4}<br /> \end{eqnarray}$ Nun gilt allerdings: $\begin{eqnarray} <br /> S - S_{2} &=& \phantom{-} 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots \\<br /> &=& -(1 - 2 + 3 - 4 + \ldots) \\<br /> &=& 4 + 8 + 12 + \ldots \\<br /> &=& 4 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + \ldots) = 4S \\<br /> &\implies& S - \frac{1}{4} = 4S \\<br /> &\implies& S = -\frac{1}{12}<br /> \end{eqnarray}$ Also zusammengefasst: $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{n=1}^{\infty} n = -\frac{1}{12}<br /> \end{eqnarray}$ Wo liegt der Fehler?
11.01.2014, 21:45	numberphileistdoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe: matheboard.de/thread.php?threadid=534479&hilight=Numberphile oder vorhilfe.de/read?t=1002465 oder matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=190515&start=0&lps=1404447#v1404447 oder weiß der Geier wo noch...
11.01.2014, 21:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
--> Konvergenz der Summe aller natürlichen Zahlen

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