Eigenvektoren

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12.01.2014, 10:40	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren Hallo alle zusammen Ich bin bei der Berechung der Eigenvektoren zu einem gegebenen Eigenwert einer Matrix. Mittels Gauß-Umformung der Matrix in eine rechts-obere Dreiecksmatrix bekomme ich die Lösungswerte $\begin{eqnarray} x_{1} = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_{2} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{3} = 0 \end{eqnarray}$ Dies ist auch lt. WolframAlpha so. Das heisst der Eigenvektor muss $\begin{eqnarray} ({{{0},{0},{0}}})^T \end{eqnarray}$ sein. Dies kann aber nicht sein, da der Eigenvektor ein von 0 verschiedener Vektor sein muss. Aber wie gehe ich dann an die Aufgabe heran? Einen Eigenvektor zu einen anderen Eigenwert der Matrix konnte ich bereits bestimmen. Die Matrix hieß $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 0 & -22 & -20 \\ -9 & 22 & 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hoffe mir kann jemand helfen. Liebe Grüße
12.01.2014, 10:56	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast dich offensichtlich verrechnet. Was du falsch gemacht hast kann dir so keiner sagen wenn du deine Rechnung nicht preisgibst. Oder du findest jemanden mit Glaskugel.
12.01.2014, 11:15	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für deine Antwort. Hier mal mein Rechenweg: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 0 & -22 & -20 \\ -9 & 22 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann folgender Rechenschritt: $\begin{eqnarray} z_{3} = z_{3}+9z_{1} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 0 & -22 & -20 \\ 0 & -396 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann: $\begin{eqnarray} z_{3}= z_{3}-18 \cdot z_{2} \end{eqnarray}$ Es folgt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 0 & -22 & -20 \\ 0 & 0 & -358 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und da bekomme ich für alle drei $\begin{eqnarray} x_{i} = 0 \end{eqnarray}$ Liebe Grüße
12.01.2014, 11:24	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab keine Ahnung wie du auf die 396 kommst, aber das ist nicht das Problem. Diese Matrix hat keinen Eigenvektor zum Eigenwert 0, da sie invertierbar ist. Den versuchst du aber auszurechnen. hast du denn schon die Eigenwerte bestimmt?
12.01.2014, 12:09	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die habe ich schon berechnet. Die eigenwerte sind 2, 1 und -1 Liebe Grüße
12.01.2014, 12:25	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
und warum versuchst du dann einen Eigenvektor zum nicht vorhandenen Eigenwert 0 auzurechnen? Ferner passen die Eigenwert nicht zu geposteten Matrix: wolframalpha.com/input/?i=%28%281%2C-2%2C-2%29%2C%280%2C-22%2C-20%29%2C%28-9%2C22%2C20%29%29
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12.01.2014, 12:35	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja meine Matrix ist schon die gebildete $\begin{eqnarray} (A-\lambda E_{3}) \end{eqnarray}$ sodass : $\begin{eqnarray} (A-\lambda E_{3})\cdot \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ Naja 0 ist doch kein Eigenwert. Mein char. Polynom lautet: $\begin{eqnarray} -(\lambda -2)(\lambda -1)( \lambda +1) \end{eqnarray}$
12.01.2014, 12:45	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast du beim Bilden der Matrix einen Fehler gemacht. Dieser ist nicht nach vollziehbar, da weder A noch lambda bekannt sind. Bitte poste die originale Aufgabenstellung. Und ich weiß nicht, warum ich das jemandem sagen muss der bereits mehr als 1000 Posts in diesem Forum hat.
12.01.2014, 12:59	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung.. Dann werde ich hier mal die Aufgabe aufzeigen.. Gegeben ist die Matrix: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 9 & -21 & -20 \\ -9 & 22 & 21 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Eigenwerte von A jeweils mit einer Basis des Eigenraums.
12.01.2014, 13:08	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast beim abschreiben aus dem 9 in der zweiten Zeile eine 0 gemacht.
12.01.2014, 14:27	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah das ist mein Fehler... Dankeschöön..

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