Stetigkeit

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Ochy Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit
Meine Frage:
Ist die Funktion stetig in x=0 ?

Meine Ideen:
Ich weiß nicht genau wie man an diese Aufgabe herangehen kann, die Funktion ist in x=0 doch nichtmal definiert. Kann mir jemand bei der Lösung helfen?
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit
Hallo Ochy!!

Zitat:
Original von Ochy
die Funktion ist in x=0 doch nichtmal definiert.

Gut bemerkt! Guggst du hier
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gleiche Thema hatten wir hier schonmal. Guck dir erstmal das hier an. Danach kannst du ja hier nochmal nachfragen.
Denn so, wie die Aufgabe da steht, ist es Unsinn. Da steht nichtmal eine Funktion. Und selbst, wenn man es als Funktion deutet, ist sie bei x=0 nicht definiert.
Naja, das steht auch alles in dem Link. smile
Ochy Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant, man sollte meinen dass Aufgaben gerade in einem Mathematikstudium unmissverständlich und korrekt gestellt werden verwirrt
Ok, dann gehe ich mal davon aus, die Aufgabestellung lautet so wie Du sie in dem anderen Thema "korrigiert" hast dastrian^^ wie könnte man zeigen, dass die Funktion in x=0 stetig fortsetzbar ist? (Regel von L’Hospital hatten wir soweit ich weiß noch nicht).
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich vermuten, dass ihr Sinus und Kosinus über die Potenzreihe dargestellt habt? Damit gehts recht einfach.
Wahrscheinlich habt ihr dann auch die Stetigkeit der beiden Funktionen bewiesen und dabei eine "Restgliedabschätzung" gezeugt, die kannst du benutzen. (Muss aber nicht mit dieser gemacht werden).
Ochy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, über Potenzreihen haben wir das gemacht. Aber was für eine Restgliedabschätzung meinst du?
 
 
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr sie nicht hattet, ist es eher unnötig, sie jetzt extra für die Aufgabe einzuführen. ^^
Setz doch die Potenzreihendarstellung für den Cosinus mal in die gegeben Funktion ein und stell vor, wie weit du damit kommst.
Ochy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Potenzreihe einsetze, habe ich . Ich hab bisher noch keine stetigen Fortsetzbarkeiten bewiesen :| So wie es hier erklärt ist (http://www.kremb.org/mathe/BVKT-Analysis...Def-Luecken.pdf) habe ich es so verstanden, dass man versuchen soll den Nenner wegzukürzen und wenn das erfolgreich ist, wäre die Funktion stetig fortsetzbar, ist das so richtig? Ich habe auch etwas gesehen wo es heißt, links und rechtsseitiger Grenzwert müssen an dieser Stelle gleich sein, damit die Funktion stetig fortsetzbar ist.
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Genau - aber das ist für uns nur mäßig relevant.

Also: Der von dir angegebene Link bezieht sich auf gebrochen-rationale Funktionen, das sind Funktionen, die aus einem Bruch bestehen, dessen Zähler und Nenner je aus einem Polynom bestehen. Bei diesen Funktionen sind dann natürlich die Nullstellen des Nennerpolynoms "problematisch". Bei uns haben wir eben auch eine Nullstelle des Nenners zu Untersuchen (denn die Nullstelle des Polynoms ist natürlich ), aber wir haben im Zähler kein Polynom stehen. (Potenzreihen nennt man nicht Polynome, weil man auch ganz anders mit ihnen umgehen muss... unendliche Summen unterscheiden sich von endlichen Summen sehr stark!)

Richtig ist, dass die Funktion genau dann stetig fortsetzbar an ist, wenn für jede Nullfolge (also ) gilt, dass konvergiert und alle diese Grenzwerte gleich sind. Das ist per Definition die Existenz des Grenzwerts

denn dieser Grenzwert ist nur eine Kurzschreibweise für den Grenzwert aller Nullfolgen (die im Definitionsbereich der Funktion liegen).
Die Geschichte mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert kommt nun daher, dass man sich auf zwei Arten von Nullfolgen einschränken darf: diejenigen mit und diejenigen mit . Wenn dann die Grenzwerte von dieser linksseitigen und rechtsseitigen Folgen gleich sind, so ist die Funktion an der Stelle stetig fortsetzbar, ansonsten nicht.

Das alles ist für uns nicht besonders wichtig. Mach dir das Leben nicht so schwer und versuch einfach mal, deine Funktion

mal umzuformen. Wenn du keine Idee hast, dann verwende doch mal die etwas ungenaue, aber intuitivere Schreibweise

Siest du nun, wie man hier vereinfachen könnte?
Ochy Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die Ausführung, die hat mir beim Verständnis gut geholfen smile
Vereinfacht bekomme ich also dadurch dass der erste Summand wegfällt und nach Kürzen
Ist das so richtig? Dann kommen jetzt links und rechtsseitiger Grenzwert ins Spiel. Dafür suche ich mir jetzt zwei Nullfolgen, die sich einmal von rechts und einmal von links nähern, setze sie für x in mein f(x) ein und schaue, ob die Funktionswerte die ich erhalte identisch sind, ist das so grob richtig?
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, genau das ist die Umformung, jetzt hast du nämlich als Potenzreihe dargestellt!

Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten:
Die erste setzt voraus, dass ihr in der Vorlesung schon etwas hattet wie "Eine Potenzreihe definiert auf der Menge der absoluten Konvergenz (= in ihrem Konvergenzredius) eine stetige Funktion". Mit diesem Satz kann man sofort begründen, dass die Potenzreihe, auf die wir jetzt zurückgeführt haben, auf ganz stetig ist, denn mit dem Majorantenkriterium kann man sofort begründen, dass unsere Reihe überall dort konvergiert, wo die -Reihe konvergiert.

Die zweite Mögllichkeit ist elementarer: Wir zeigen die Stetigkeit, indem wir die Reihe in eine Umgebung von 0 abschätzen und zwar gegen das Produkt von und einer geometrischen Reihe, die in der Umgebung von 0 beschränkt ist. Dann folgt sofort die Stetigkeit.

Wir stellen zuerst fest, dass in die Abschätzung gilt, wobei letzteres die Koeffizienten der Reihe sind, welche auf ganz absolut konvergiert, also konvergiert auch unsere Reihe. Immer noch für können wir eine Abschätzung der Form



vornehmen. Weiter ist , also



Soweit, so technisch. Ein paar mehr oder weniger geschickte Abschätzungen, der Rest sollte nicht mehr schwer sein.
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