Symmetrische Differenz Nullmenge

12.01.2014, 15:13

Sonntagsfrage

Symmetrische Differenz Nullmenge

Meine Frage:
Hallo sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\Sigma,\mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum und $\begin{eqnarray*} A, B\in\Sigma \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \mu(A\Delta B)=0\Rightarrow \mu(A)=\mu(B) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich denke, das ist eigentlich nicht schwer, aber es hakt trotzdem bei mir gerade bei dem Beweis...

Es sei $\begin{eqnarray*} \mu(A\Delta B)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \mu((A\setminus B)\uplus (B\setminus A))=\mu((A\setminus B))+\mu(B\setminus A)=0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt?!

12.01.2014, 15:19

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Symmetrische Differenz Nullmenge
Für $\begin{eqnarray*} C \subset D \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} \mu(D \setminus C) = \mu(D) - \mu(C) \end{eqnarray*}$ .
Algemeiner (ohne die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} C \subset D \end{eqnarray*}$ ) heißt das $\begin{eqnarray*} \mu(D \setminus C) = \mu(D) - \mu(C \cap D) \end{eqnarray*}$ .
Damit müsste es gehen, wenn du im weiteren Verlauf noch die Disjunktheit der Zerlegung $\begin{eqnarray*} A \cup B = (A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A) \end{eqnarray*}$ verwendest.

12.01.2014, 15:23

Sonntagsfrage

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Symmetrische Differenz Nullmenge

Zitat:

Original von dastrian
Für $\begin{eqnarray*} C \subset D \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} \mu(D \setminus C) = \mu(D) - \mu(C) \end{eqnarray*}$ .

Aber ja doch nur, wenn $\begin{eqnarray*} \mu(C)<\infty \end{eqnarray*}$ ?!

12.01.2014, 15:30

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Symmetrische Differenz Nullmenge
Oh, das ist wahr. Jetzt wollte ich schon eine Fallunterscheidung in $\begin{eqnarray*} \mu(A) < \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu(A) = \infty \end{eqnarray*}$ vorschlagen, aber es geht ja noch einfacher: Wegen der Nicht-Negativität von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ folgt aus

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mu(A \setminus B)+\mu(B \setminus A)=0 \end{eqnarray*}$

doch sofort $\begin{eqnarray*} \mu(A\setminus B) = \mu(B\setminus A)=0 \end{eqnarray*}$ .

12.01.2014, 15:37

Sonntagsfrage

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso folgt aus $\begin{eqnarray*} \mu(A\setminus B)=0=\mu(B\setminus A)$, dass [l]\mu(A)=\mu(B) \end{eqnarray*}$ ?

Das seh' ich gerade noch nicht.

12.01.2014, 15:40

Sonntagsfrage

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Und daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \mu(A)=\mu(B)=\mu(A\cap B) \end{eqnarray*}$ , also sind $\begin{eqnarray*} \mu(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu(B) \end{eqnarray*}$ identisch.

Ja?

12.01.2014, 15:41

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen dem letzten Satz in meinem ersten Beitrag. ^^

edit: Ja! smile

12.01.2014, 15:42

Sonntagsfrage

Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke. Voll der kurze Beweis. :-)

Neue Frage »

Antworten »

Symmetrische Differenz Nullmenge

Verwandte Themen