Stetige und Differenzierbare Funktion

12.01.2014, 15:49

TommyGun136

Stetige und Differenzierbare Funktion

Halli Hallo,

habe hier diese Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für eine auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stetige und auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ n-mal differenzierbare Funktion f: $\begin{eqnarray*} [a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ verschiedenen Nullstellen ein $\begin{eqnarray*} \xi \in (a,b) \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(\xi)=0 \end{eqnarray*}$

Um ehrlich zu sein finde ich hier überhaupt keinen Ansatz.

Könnte mir jemand einen Tipp liefern?

Liebe Grüße
Tommy

13.01.2014, 01:30

weisbrot

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RE: Stetige und Differenzierbare Funktion
also... mittelwertsatz der differenzialrechnung sagt dir was?
dann probier mal zu gucken, wieviele solcher punkte es gibt, an denen die erste ableitung der funktion 0 wird! und die zweite? die dritte?...
lg

13.01.2014, 13:44

TommyGun136

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RE: Stetige und Differenzierbare Funktion
Ja, also ich nehme an: $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \end{eqnarray*}$

Geometrisch betrachtet soll ich nun erst einmal die x-Koordinate, sprich
$\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ des Punktes finden, in dem die Tangente, welche die Steigung 0 haben soll, den Graphen der Funktion berührt, oder?

Der Term $\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \end{eqnarray*}$ , falls der Zähler gleich 0, sprich wenn gilt: $\begin{eqnarray*} f(b)=f(a) \end{eqnarray*}$

Dann hat die Sekante die Steigung 0 und somit berührt die Tangente die Funktion an einem Hoch oder Tiefpunkt.

Wenn ich nun zeige, dass $\begin{eqnarray*} f'(\xi)= 0 \end{eqnarray*}$ , dann kann ich auch leicht beweisen, dass folgt: $\begin{eqnarray*} f^n(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$

Sind diese Aussagen bisher richtig?

Nun habe ich die Information, dass die Funktion n+1 Nullstellen hat, daraus schließe ich, dass sie mind 2 Nullstellen hat, da die Funktion mindestens einmal differenzierbar sein muss.

Eine Funktion mit 2 Nullstellen hat mindestens einen Hoch oder Tiefpunkt, richtig?

Daraus wäre zu schließen, dass es eine Tangente am Graphen mit der Steigung 0 gibt und somit ein $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ existiert.
Dies war nun die geometrische Interpretation.
Allerdings fehlt mir nun der mathematische Beweis dafür verwirrt

13.01.2014, 14:14

HAL 9000

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RE: Stetige und Differenzierbare Funktion

Zitat:

Original von TommyGun136
Wenn ich nun zeige, dass $\begin{eqnarray*} f'(\xi)= 0 \end{eqnarray*}$ , dann kann ich auch leicht beweisen, dass folgt: $\begin{eqnarray*} f^n(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$

"Leicht" kannst du das beweisen? Das möchte ich sehen. Augenzwinkern

Für dasselbe $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ gilt diese Aussage i.a. nämlich nicht. unglücklich

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$\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Intervalle zwischen jeweils aufeinander folgenden Nullstellen hast. Und in jedem (!) dieser $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Intervalle gibt es laut MWS eine solche Nullstelle der Ableitung, insgesamt also $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Nullstellen der ersten Ableitung - DAS ist der entscheidende Clou bei diesem Problem.

13.01.2014, 20:35

TommyGun136

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RE: Stetige und Differenzierbare Funktion
Hupsi, da hab ich mich vertan unglücklich

Dann weiß ich jetzt auch nicht weiter verwirrt

13.01.2014, 21:18

HAL 9000

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Oje, wirklich so schwer? Dabei ging doch schon der erste Hinweis drauf ein:

Zitat:

Original von weisbrot
dann probier mal zu gucken, wieviele solcher punkte es gibt, an denen die erste ableitung der funktion 0 wird! und die zweite? die dritte?...

Mal zusammenfassen:

Wir gehen aus von " $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Nullstellen" und haben für die nachgewiesen " $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ hat (mindestens) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nullstellen".

Jetzt können wir mit $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und mit einer Nullstelle weniger (n statt n+1) den selben Schluss anwenden:

D.h. " $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ hat (mindestens) $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Nullstellen", dann " $\begin{eqnarray*} f''' \end{eqnarray*}$ hat (mindestens) $\begin{eqnarray*} n-2 \end{eqnarray*}$ Nullstellen" usw.

Tja, wie geht das wohl weiter und wo endet das? smile

P.S.: Hier mal noch ein Beispiel, dass die n+1 Nullstellen im worst-case auch wirklich nötig sind: Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x-1)(x-2)\cdot \ldots (x-n) \end{eqnarray*}$

hat offenbar $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nullstellen (also eine zu wenig), und deren konstante $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = n! \end{eqnarray*}$ besitzt offensichtlich keine Nullstelle. Augenzwinkern

13.01.2014, 21:24

TommyGun136

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RE: Stetige und Differenzierbare Funktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Intervalle zwischen jeweils aufeinander folgenden Nullstellen hast. Und in jedem (!) dieser $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Intervalle gibt es laut MWS eine solche Nullstelle der Ableitung, insgesamt also $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Nullstellen der ersten Ableitung - DAS ist der entscheidende Clou bei diesem Problem.

Ah jetzt wird es verständlich! Und die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nullstellen bedeuten wieder, dass es $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Intervalle gibt.Dann müssten es mit der 2. Ableitung $\begin{eqnarray*} n+1-2 \end{eqnarray*}$ , mit der 3. Ableitung $\begin{eqnarray*} n+1-3 \end{eqnarray*}$ Nullstellen geben. Für die n-te Ableitung gibt es dann nur noch n+1-n = 1 Nullstelle. Somit existiert nach dem MWS ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f^n(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$

13.01.2014, 21:25

TommyGun136

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RE: Stetige und Differenzierbare Funktion
Tut mir leid, hatte den 2. Teil deines Posts übersehen! -.-

13.01.2014, 21:26

HAL 9000

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So ist es. Freude

EDIT: Halt, falscher Zungenschlag von dir: Von Eindeutigkeit kann keine Rede sein: Der Beweis liefert nur die Aussage, dass es mindestens eine Nullstelle der n-ten Ableitung gibt - von "genau eine" kann i.a. keine Rede sein. unglücklich

13.01.2014, 21:28

TommyGun136

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Super! Danke dir smile

13.01.2014, 21:29

HAL 9000

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Bitte lies noch meine letzte Anmerkung.

13.01.2014, 21:33

TommyGun136

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Logischerweise nicht. Wie komm ich nur immer auf diese Folgerungen?