Differenzierbarkeit

12.01.2014, 19:26	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit Hey Leute, ich muss beweisen, dass folgende Funktion beliebig oft differenzierbar ist: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, f(x) =exp (- \frac{1}{\|x\|}) , \forall x \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = \frac{p_{n-1}(x)}{x^{2n}} exp (-\frac{1}{\|x\|}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ mit einem Polynom $\begin{eqnarray} p_{n-1} \end{eqnarray}$ vom Grad n-1 und dass $\begin{eqnarray} f^{(n)}(0) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} f(x) = exp(- \frac{1}{\|x\|}) = e^{(- \frac{1}{\|x\|})} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} f(x) = (g \circ h)(x) = g( h(x)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x) = e^x, h(x) = - \frac{1}{\|x\|} = - \|x\|^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g^1(x)= e^x , g^n(x) = e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h^1(x)= \|x\|^{-2}, h^n = \prod_{k=1}^{n} ((-1)^k(-k)) \|x\|^{-1-n} \end{eqnarray}$ Somit sind g(x) und h(x) beliebig oft differenzierbar und somit ist auch die Komposition $\begin{eqnarray} g( h(x)) = f(x) \end{eqnarray}$ beliebig oft differenzierbar. Auch die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ ist bel. oft differenzierbar, da $\begin{eqnarray} f(x) = 0 = 0 x^0 \end{eqnarray}$ und das abgeleitet ist: $\begin{eqnarray} f^1(x) = \frac {0}{x^1} = 0 \Rightarrow f^n(x) = 0 \end{eqnarray}$ Somit wäre auch die Frage : Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} f^{(n)}(0) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ geklärt. Passt es so bisher? Hierbei komm ich jetzt allerdings nicht auf diesen Term Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = \frac{p_{n-1}(x)}{x^{2n}} exp (-\frac{1}{\|x\|}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ mit einem Polynom $\begin{eqnarray} p_{n-1} \end{eqnarray}$ vom Grad n-1.
13.01.2014, 21:29	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte hier jemand nocheinmal einen Blick drauf werfen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »