2n+1 über k

12.01.2014, 20:38	justmath	Auf diesen Beitrag antworten »
2n+1 über k Hallo, brauche wohl mal einen kleinen Denkanstoß bzgl. folgendem Problem, drehe mich irgendwie im Kreis ... Man berechne folgenden Binomialkoeffizienten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ich weiß wohl, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2n \\ k-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich das dann ausrechne (ich spar mir an dieser Stelle erst mal diesen Riesenbruch), komme ich irgendwann auf $\begin{eqnarray} \frac{(2n)!\cdot (2n+1)}{k!\cdot (2n+1-k)!} \end{eqnarray}$ was ja wiederum folgendes ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon ausgehend könnte ich mir den oben beschriebenen Rechenweg sparen und gleich den letzten Bruch als Ergebnis schreiben. Glaube aber nicht, dass dies die Lösung ist, oder?
12.01.2014, 20:54	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
im Matheboard! Was meinst du denn mit "Berechnen"? Was soll denn da am Ende rauskommen? Sind da schon konkrete Werte für n und k gegeben?
12.01.2014, 21:23	justmath	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall gibt es keine konkreten Werte. Vorherige Aufgaben lauteten u.a. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ was ich ohne Weiteres lösen kann.
12.01.2014, 23:03	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, dann weiß ich auch nicht so wirklich, wei man das ausrechnen soll. Was hattest du denn bei $\begin{eqnarray} \binom{2n+1}{3} \end{eqnarray}$ raus?
13.01.2014, 00:27	justmath	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{array}{ll} & \binom{2n+1}{3}\\ = & \binom{2n}{3}+\binom{2n}{2}\\ = & \frac{2n!}{3!(2n-3)!}+\frac{2n!}{2!(2n-2)!}\\ = & \frac{(2n-3)!(2n-2)(2n-1)2n}{6(2n-3)!}+\frac{(2n-2)!(2n-1)2n}{2(2n-2)!}\\ = & \frac{8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}+\frac{12n^{2}-6n}{6}\\ = & \frac{8n^{3}-2n}{6}\\ = & \frac{1}{3}n(4n^{2}-1) \end{array} \end{eqnarray}$

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