Konvergenz einer Reihe (Zahlenfolgen, Metrik)

13.01.2014, 06:25

Hamude

Konvergenz einer Reihe (Zahlenfolgen, Metrik)

Hallo

Sei s die Menge aller reellen Zahlenfolgen. Für $\begin{eqnarray*} x:=\left(x_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y:=\left(y_{n} \right)_{n\in \mathbb N }\in s \end{eqnarray*}$ definieren wir:

$\begin{eqnarray*} d\left(x,y\right) :=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n} } \cdot \frac{| x_{n}-a_{n} | }{1+| x_{n}-y_{n} | } \end{eqnarray*}$

a) Zeige, dass die angegebene Reihe konvergiert.
b) Beweise, dass d eine Metrik auf s ist.

Anstätze:

zu a)

$\begin{eqnarray*} d(x,y) = \sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{| x_{n} - y_{n} | }{2^n * (1+ | x_{n} - y_{n} |) }} < \epsilon \Rightarrow \frac{| x_{n} - y_{n} | }{2^n * (1+ | x_{n} - y_{n} |) } < \epsilon ~ \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Also folgt nun mit $\begin{eqnarray*} \epsilon < 2^{-n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{| x_{n} - y_{n} | }{(1+ | x_{n} - y_{n} |) } < \underbrace {2^{n} * \epsilon}_{=: \delta} \Rightarrow | x_{n} - y_{n} | < \underbrace {\frac{\delta}{1 - \delta}}_{=: \theta} \underbrace {\to}_{\delta \to 0} 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Reicht das zu a) oder ist da noch was falsch.
Wie kann ich b) zeigen?

13.01.2014, 09:29

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe (Zahlenfolgen, Metrik)

Zitat:

Original von Hamude
$\begin{eqnarray*} d\left(x,y\right) :=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n} } \cdot \frac{| x_{n}-a_{n} | }{1+| x_{n}-y_{n} | } \end{eqnarray*}$

Gemeint ist: $\begin{eqnarray*} d\left(x,y\right) :=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \cdot \frac{| x_n - y_n | }{1+| x_n - y_n | } \end{eqnarray*}$

Allerdings rettet das deinen Lösungsansatz für a auch nicht. Warum sollte die Reihe kleiner als ein epsilon sein? verwirrt

Und wo steht geschrieben, daß $\begin{eqnarray*} |x_n - y_n| \end{eqnarray*}$ gegen Null geht? verwirrt

Überlege dir, wie groß $\begin{eqnarray*} \frac{| x_n - y_n | }{1+| x_n - y_n | } \end{eqnarray*}$ maximal sein kann und schon hast du eine konvergente Majorante. smile

Zitat:

Original von Hamude
Wie kann ich b) zeigen?

Indem du zeigst, daß d(x,y) die für eine Metrik verlangten Eigenschaften erfüllt. Augenzwinkern

13.01.2014, 12:52

Hamude

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Also wenn ich mich nicht irre, kann die Reihe nicht größer als 1 sein, also könnte ich die harmonische Reihe nehmen:

$\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n} } \cdot \frac{| x_{n}-a_{n} | }{1+| x_{n}-y_{n} | } | \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie müsste ich damit weiter verfahren?

13.01.2014, 13:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hamude
Also wenn ich mich nicht irre, kann die Reihe nicht größer als 1 sein

Das ist zwar richtig, aber als Begründung die divergente harmonische Reihe hernehmen, ist dann doch etwas daneben. unglücklich

Ich hatte dir doch eine Frage gestellt. Vielleicht solltest du diese erstmal beantworten.

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