Homomorphiesatz beweisen

13.01.2014, 09:52

MendiantLuxe

Homomorphiesatz beweisen

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} T / (T \cap U) \cong (U + T) / U \end{eqnarray*}$

Ich wähle eine Abbildung $\begin{eqnarray*} h: G \to H \end{eqnarray*}$ und zeige, dass diese ein surjektiver Homomorphismus ist. Daraus folgt mit dem 1. Isomorphiesatz, dass $\begin{eqnarray*} H \cong G/ker(h) \end{eqnarray*}$ .

Ich wähle also:

$\begin{eqnarray*} h: T \to (U+T)/U, t \to t+ U \end{eqnarray*}$ .

- diese Funktion ist wohldefiniert, denn:
sei $\begin{eqnarray*} v \in (U+T), v = t_1 + u_1 = t_2 + u_2 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} h(t_1+u_1) = t_1 + (U \cap T) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h(t_2+u_2) = t_2 + (U \cap T) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} t_1 - t_2 \in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_1-t_2 = u_2 - u_1 \in U \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} t_1 - t_2 \in (T\cap U) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} t_1 + (T\cap U) = t_2 + (T\cap U) \end{eqnarray*}$ .

- diese Funktion ist surjektiv
Wie zeige ich das?!

- diese Funktion ist ein Homomorphismus
Wie zeige ich das?

Schließlich brauche ich noch den Kern der Abbildung h.
Da h eine Komposition ist aus
$\begin{eqnarray*} f: T \to U+T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: U+T \to (U+T)/U \end{eqnarray*}$ ergibt sich:

ker(g) = U, da ja U in der Abbildung von g neutral ist.

Dann ist aber f(A) = U genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} A = U \cap T \end{eqnarray*}$ .

Damit ist der Kern von h = $\begin{eqnarray*} T \cap U \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank für eure Hilfe!

13.01.2014, 20:15

jester.

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RE: Homomorphiesatz beweisen

Zitat:

Original von MendiantLuxe
- diese Funktion ist wohldefiniert, denn:
sei $\begin{eqnarray*} v \in (U+T), v = t_1 + u_1 = t_2 + u_2 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} h(t_1+u_1) = t_1 + (U \cap T) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h(t_2+u_2) = t_2 + (U \cap T) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} t_1 - t_2 \in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_1-t_2 = u_2 - u_1 \in U \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} t_1 - t_2 \in (T\cap U) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} t_1 + (T\cap U) = t_2 + (T\cap U) \end{eqnarray*}$ .

Was machst du da? Du hast $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ definiert, nicht auf $\begin{eqnarray*} T+U \end{eqnarray*}$ , also kannst du auch nur Elemente aus dem ersten Raum einsetzen. Die Wohldefiniertheit ist hier im Übrigen absolut klar und nicht zu zeigen.

Zitat:

- diese Funktion ist surjektiv
Wie zeige ich das?!

Überprüfe mal, ob zur Restklasse $\begin{eqnarray*} u+t+U \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} t\in T, ~ u \in U \end{eqnarray*}$ ) der Vektor $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ein Urbild sein könnte. Augenzwinkern

Zitat:

- diese Funktion ist ein Homomorphismus
Wie zeige ich das?

Das ist offensichtlich. Rechne es ggf. einfach nach, so wie du sonst auch die Linearität einer Abbildung nachrechnen würdest.

Zitat:

Schließlich brauche ich noch den Kern der Abbildung h.
Da h eine Komposition ist aus
$\begin{eqnarray*} f: T \to U+T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: U+T \to (U+T)/U \end{eqnarray*}$ ergibt sich:

ker(g) = U, da ja U in der Abbildung von g neutral ist.

Dann ist aber f(A) = U genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} A = U \cap T \end{eqnarray*}$ .

Damit ist der Kern von h = $\begin{eqnarray*} T \cap U \end{eqnarray*}$ .

Was soll "U ist neutral" heißen? Du solltest einfach wie üblich die Gleichheit zweier Mengen nachweisen, und zwar die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} \ker(h) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \cap T \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ klar und $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ auch nicht besonders schwer. Hast du nämlich ein $\begin{eqnarray*} x \in \ker(h) \end{eqnarray*}$ , so ist
$\begin{eqnarray*} 0+U=h(x)=x+U \end{eqnarray*}$ , was gleichbedeutend ist mit... Augenzwinkern

14.01.2014, 08:06

MendiantLuxe

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Zum Homomorphismus:

Ich muss also zeigen dass für zwei Elemente x,y aus T gilt:

h(xy) = h(x)h(y)

Dann ist ja h(xy) = (xy)+U = xU + yU ??

Zum Kern:

die Richtung "<=" ist für dich klar. Wieso?

14.01.2014, 08:15

jester.

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Zitat:

Original von MendiantLuxe
Ich muss also zeigen dass für zwei Elemente x,y aus T gilt:

h(xy) = h(x)h(y)

Vielleicht hätte ich das vorher fragen sollen, aber was für Strukturen sollen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ eigentlich sein? Ich hatte jetzt mal Vektorräume oder Moduln angenommen, da du additiv geschrieben hast, jetzt schreibst du aber plötzlich $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ ... Nicht dass es einen großen Unterschied machen würde, aber du solltest das (vor allem für dich selbst) klären.

Zitat:

Zum Kern:

die Richtung "<=" ist für dich klar. Wieso?

Ist $\begin{eqnarray*} x\in U\cap T \end{eqnarray*}$ , so ist ja insbesondere $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} h(x) = x+U = 0+U \end{eqnarray*}$ .

14.01.2014, 09:02

MendiantLuxe

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Hallo,

Also U und T sind Vektorräume.
Für den Nachweis eines Homomorphismus' habe ich eben kurz das Internet bedient.
Dann gilt für Gruppen offenbar Homomorphismus wenn $\begin{eqnarray*} f(xy) = f(x)f(y) \end{eqnarray*}$ . Ich wollte das 1:1 auf meine Aufgabe übertragen.

14.01.2014, 20:35

jester.

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Zitat:

Original von MendiantLuxe
Dann gilt für Gruppen offenbar Homomorphismus wenn $\begin{eqnarray*} f(xy) = f(x)f(y) \end{eqnarray*}$ . Ich wollte das 1:1 auf meine Aufgabe übertragen.

Für die Aufgabe brauchst du aber einen Homomorphismus von Vektorräumen, also $\begin{eqnarray*} h(x+y)=h(x)+h(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(ax)=ah(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\in K \end{eqnarray*}$ (der zugehörige Grundkörper).

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