Matrix - LGS lösen |
13.01.2014, 11:46 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Matrix - LGS lösen Hallo Leute, ich habe hier ein Problem mit dem Lösen eines LGS: Aufgabe: Meine Ideen: Ich habe jetzt Folgendes gemacht: Zeile 4 + Zeile 2 Zeile 4 - Zeile 3 Zeile 3 - Zeile 2 Soweit ich das jetzt erkenne, hat die Matrik den Rang 2, d.h. es gibt nur zwei Gleichungen, die übrig blieben. Damit kann ich allerdings keine Lösung für die x-Werte finden. Auch wenn es nur eine Lösung mit Parameter sein wird. Habe ich bis hierhin alle korrekt gerechnet? Falls ja, wie muss ich nun weiter vorgehen? Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar! Danke und Gruß Duinne |
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13.01.2014, 12:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Da ist aber in der 3. Zeile irgendwas schief gegangen.
Wie willst du das erkennen, wo sich die Matrix noch nicht in Zeilenstufenform befindet? |
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13.01.2014, 13:46 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Das müsste jetzt richtig sein: [latex] \begin{pmatrix} 6 & 4 & 8 & 17 & -20 \\ 3 & 2 & 5 & 8 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 Für die Trapezfom muss ich die 3 in der 2. Zeile wegbekommen. Aber ich wüsste nicht wie, da auch immer die 2 der 2. Zeile wegkommt. Deswegen hat sie den Rang 2. |
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13.01.2014, 13:47 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen sorry |
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13.01.2014, 13:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Nein, leider nicht.
Mal abgesehen davon, daß die Begründung für den Rang Unfug ist, wäre es doch kein Unglück, wenn die 2 der 2. Zeile auch verschwindet. Wie gesagt: über den Rang kann man sich erst unterhalten, wenn die Matrix in Zeilenstufenform ist. |
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13.01.2014, 14:02 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen So: Jetzt würde ich Zeile 2 mit 2 multiplizieren: Und nun Zeile 2 - Zeile 1: Jetzt sind die Zeilen 2 und 3 identisch. Was mache ich nun? Ich verstehe nicht, wie ich zu dieser Form kommen kann. |
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13.01.2014, 14:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Wie wäre es mit "3. Zeile minus 2. Zeile"? Dann haben wir endlich die gewünschte Form und dann bin ich auch mit Rang 2 einverstanden. |
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13.01.2014, 14:20 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Okay, das wäre dann Folgendes Und das ist jetzt trotzdem die Trapezform? Und wie kann ich jetzt das Gleichungssystem lösen. Ich habe jetzt nur zwei Gleichungen. |
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13.01.2014, 14:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Ja. Unterhalb dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile sind nur Nullen.
Du mußt jetzt die frei wählbaren Variablen bestimmen. Wie findet man dieses nun? Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt. Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar. Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig. |
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13.01.2014, 15:09 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
x1 und x3 sind nicht frei wählbar, da 6 das erste Nicht-Nullelement der 1. Zeile ist und 2 das erste Nicht-Nullelement der 2. Zeile ist. Habe ich das richtig verstanden? Wenn ja bedeutet das, dass ich für x2=1 setze und für x4=0. Bei einer unendlichen Lösungsmenge, habe ich gelernt, dass das Ergebnis für alle x-Werte mit einem Parameter hinausläuft. Wenn ich 1 und 0 einsetze, sind meine Parameter weg. |
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13.01.2014, 15:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Ja.
Und auch x5=0, da der auch frei wählbar ist. Das ganze dann noch zweimal mit x4=1 bzw. x5=1 und jeweils die anderen frei wählbaren Variablen gleich Null. Das mit dem Parameter kommt dann wieder später. Viele Wege führen da nach Rom. |
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20.01.2014, 08:27 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Vielen Dank für deine Unterstützung! Ich habe jetzt die frei wählbaren Variablen eingesetzt: Damit hätte ich für x3 zwei Lösungen. Bedeutet das, dass x3 dann der Parameter ist? Wieso habe ich ein x5? Die Ausgangsaufgabe war: Liebe Grüße Duinne |
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20.01.2014, 09:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Für diese beiden Fälle mußt du noch jeweils nach x_3 auflösen und auch x_1 bestimmen.
Nein, x_2 und x_4 sind die frei wählbaren Variablen und könnten als Parameter genommen werden. Das mit dem Parameter kommt aber später ins Spiel. Im Moment geht es erstmal darum, linear unabhängige Vektoren zu bestimmen, die das homogene GLS lösen.
Sorry, ich hatte übersehen, daß die 5. Spalte deiner Matrix die rechte Seite des GLS darstellt. Um das zu vermeiden, kann man diese Darstellung verwenden: |
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20.01.2014, 10:02 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Stimmt, den Strich hätte ich setzen sollen, sorry. Also nach x3 aufgelöst: Muss ich x3 jeweils in beide Gleichungen einsetzen? Dann hätte ich vier Ergebnisse für x1: Auf was läuft das hinaus? |
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20.01.2014, 10:03 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Klammer zu viel, hier die letzte Zeile nochmal richtig: |
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20.01.2014, 10:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Nein, nein. Du hast 2 Fälle: Fall 1: Fall 2: In jedem Fall kommt genau ein x_3 und ein x_1 heraus. Zusammen erhältst du dann genau 2 (linear unabängige) Vektoren, die das homogene System lösen. Auf der rechten Seite mußt du allerdings Nullen schreiben. |
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20.01.2014, 10:22 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Lasse ich die -20 und die 4 dann weg oder muss ich sie auf linke seite bringen? |
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20.01.2014, 10:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Du läßt sie weg, indem du diese Werte durch Nullen ersetzt. |
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20.01.2014, 10:51 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Und warum machen setzen wir die rechte Seite gleich 0? Fall 1: Fall 2: Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, habe ich nun die Lösung für den Fall 1 x1=-3,5,x2=1,x3=2 und x4=0 und für den Fall 2 x1=-6,16,x2=0,x3=2,5 und x4=1. Ich bin noch nicht fertig, oder? |
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20.01.2014, 11:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Weil wir erst die allgemeine Lösung für das homogene System bestimmen.
Du hast nicht die rechten Seiten komplett auf Null gesetzt. Richtig ist: Fall 1: Fall 2:
Ich fasse den Zwischenstand mal zusammen: Für die Lösung des homogenen Systems erhalten wir als Basisvektoren: Jede Linearkombination dieser beiden Vektoren ist also eine Lösung des homogenen Systems. Als nächstes brauchst du eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems. Setze dazu die frei wählbaren Variablen gleich Null und löse sukzessiv auf. |
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20.01.2014, 12:13 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Tut mir Leid, das verstehe ich nicht. In welcher Gleichung muss ich gleich null setzen? Die Linearkombination wäre: Ich verstehe das nicht... |
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20.01.2014, 12:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Genau. Das ist jetzt die allgemeine Lösung des homogenen Problems mit a und b als Parameter. Für eine spezielle Lösung betrachten wir die Gleichungen, die dieser Matrix entsprechen:
In diesen Gleichungen setzt du die freien Variablen (also x_2 und x_4) gleich Null und löst nach den restlichen Variablen auf. |
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20.01.2014, 14:27 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Oha, also dann: Die spezielle Lösung ist dann dementsprechend: x1=-6,x2=0,x3=2,x4=0 Wie schreibt man die allgemeine und spezielle Lösung korrekt auf? |
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20.01.2014, 14:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Eine Möglichkeit sieht so aus: |
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20.01.2014, 15:19 | Duinne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen Ah okay! Also riesen Dank nochmal, eine unglaublich gute Unterstützung! Aber eine Frage hätte ich noch: geht man mit einem LGS mithilfe der Matrix-Form immer so vor? Also ich übertrage die Gleichungen in eine Matrix und bringe dann alles in das gestaffelte System. Und je nachdem, was für ein gestaffeltes System ich habe, gehe ich dann entsprechend vor. In meinem Papula überprüft man zuerst die Determinanten, um sich über das Lösungsverhalten klar zu werden. Allerdings ist mir die Bestimmung des Rang noch nicht so klar, auf den es ja ankommt. Liebe Grüße |
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20.01.2014, 16:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Das ist in meinen Augen das übliche Verfahren. Mag sein, daß Papula anders vorgeht. Der Rang ist die Anzahl der Nicht-Nullzeilen, wenn die Matrix die Zeilenstufenform hat. Über den Dimensionssatz erhält man dann die Dimension des Kerns. |
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20.01.2014, 22:10 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrix - LGS lösen
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, denn aus der Differenz der 2. und 3. Zeile folgt und dies steht im Widerspruch zur 4. Zeile mit . Ich habe mal vor zig Jahren gelernt, dass so ein Gleichungssystem nicht lösbar ist. Trifft dies jetzt nicht mehr zu ? Ist es erlaubt, widersprüchliche Gleichungen wegzulassen ? |
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