Matrix - LGS lösen

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Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix - LGS lösen
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe hier ein Problem mit dem Lösen eines LGS:

Aufgabe:







Meine Ideen:
Ich habe jetzt Folgendes gemacht:



Zeile 4 + Zeile 2



Zeile 4 - Zeile 3



Zeile 3 - Zeile 2



Soweit ich das jetzt erkenne, hat die Matrik den Rang 2, d.h. es gibt nur zwei Gleichungen, die übrig blieben. Damit kann ich allerdings keine Lösung für die x-Werte finden. Auch wenn es nur eine Lösung mit Parameter sein wird.

Habe ich bis hierhin alle korrekt gerechnet? Falls ja, wie muss ich nun weiter vorgehen?

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Danke und Gruß
Duinne
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Zeile 3 - Zeile 2



Da ist aber in der 3. Zeile irgendwas schief gegangen.

Zitat:
Original von Duinne
Soweit ich das jetzt erkenne, hat die Matrik den Rang 2

Wie willst du das erkennen, wo sich die Matrix noch nicht in Zeilenstufenform befindet? verwirrt
 
 
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Das müsste jetzt richtig sein:

[latex] \begin{pmatrix} 6 & 4 & 8 & 17 & -20 \\ 3 & 2 & 5 & 8 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Für die Trapezfom muss ich die 3 in der 2. Zeile wegbekommen. Aber ich wüsste nicht wie, da auch immer die 2 der 2. Zeile wegkommt. Deswegen hat sie den Rang 2.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
sorry

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Das müsste jetzt richtig sein:

Nein, leider nicht.

Zitat:
Original von Duinne
Für die Trapezfom muss ich die 3 in der 2. Zeile wegbekommen. Aber ich wüsste nicht wie, da auch immer die 2 der 2. Zeile wegkommt. Deswegen hat sie den Rang 2.

Mal abgesehen davon, daß die Begründung für den Rang Unfug ist, wäre es doch kein Unglück, wenn die 2 der 2. Zeile auch verschwindet.

Wie gesagt: über den Rang kann man sich erst unterhalten, wenn die Matrix in Zeilenstufenform ist.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
So:



Jetzt würde ich Zeile 2 mit 2 multiplizieren:



Und nun Zeile 2 - Zeile 1:



Jetzt sind die Zeilen 2 und 3 identisch.
Was mache ich nun? Ich verstehe nicht, wie ich zu dieser Form kommen kann.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Wie wäre es mit "3. Zeile minus 2. Zeile"? Dann haben wir endlich die gewünschte Form und dann bin ich auch mit Rang 2 einverstanden. smile
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Okay, das wäre dann Folgendes



Und das ist jetzt trotzdem die Trapezform?

Und wie kann ich jetzt das Gleichungssystem lösen. Ich habe jetzt nur zwei Gleichungen.


klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Und das ist jetzt trotzdem die Trapezform?

Ja. Unterhalb dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile sind nur Nullen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Duinne
Und wie kann ich jetzt das Gleichungssystem lösen.

Du mußt jetzt die frei wählbaren Variablen bestimmen. Wie findet man dieses nun? Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt. Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.
Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.


x1 und x3 sind nicht frei wählbar, da 6 das erste Nicht-Nullelement der 1. Zeile ist und 2 das erste Nicht-Nullelement der 2. Zeile ist.
Habe ich das richtig verstanden?

Wenn ja bedeutet das, dass ich für x2=1 setze und für x4=0.
Bei einer unendlichen Lösungsmenge, habe ich gelernt, dass das Ergebnis für alle x-Werte mit einem Parameter hinausläuft. Wenn ich 1 und 0 einsetze, sind meine Parameter weg.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
x1 und x3 sind nicht frei wählbar, da 6 das erste Nicht-Nullelement der 1. Zeile ist und 2 das erste Nicht-Nullelement der 2. Zeile ist.
Habe ich das richtig verstanden?

Ja.

Zitat:
Original von Duinne
Wenn ja bedeutet das, dass ich für x2=1 setze und für x4=0.

Und auch x5=0, da der auch frei wählbar ist. Das ganze dann noch zweimal mit x4=1 bzw. x5=1 und jeweils die anderen frei wählbaren Variablen gleich Null. Das mit dem Parameter kommt dann wieder später. Viele Wege führen da nach Rom. Augenzwinkern
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Vielen Dank für deine Unterstützung!

Ich habe jetzt die frei wählbaren Variablen eingesetzt:









Damit hätte ich für x3 zwei Lösungen. Bedeutet das, dass x3 dann der Parameter ist?

Wieso habe ich ein x5?
Die Ausgangsaufgabe war:






Liebe Grüße
Duinne
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Ich habe jetzt die frei wählbaren Variablen eingesetzt:









Für diese beiden Fälle mußt du noch jeweils nach x_3 auflösen und auch x_1 bestimmen.

Zitat:
Original von Duinne
Damit hätte ich für x3 zwei Lösungen. Bedeutet das, dass x3 dann der Parameter ist?

Nein, x_2 und x_4 sind die frei wählbaren Variablen und könnten als Parameter genommen werden. Das mit dem Parameter kommt aber später ins Spiel. Im Moment geht es erstmal darum, linear unabhängige Vektoren zu bestimmen, die das homogene GLS lösen.

Zitat:
Original von Duinne
Wieso habe ich ein x5?

Sorry, ich hatte übersehen, daß die 5. Spalte deiner Matrix die rechte Seite des GLS darstellt. Um das zu vermeiden, kann man diese Darstellung verwenden:

Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Stimmt, den Strich hätte ich setzen sollen, sorry.

Also nach x3 aufgelöst:




Muss ich x3 jeweils in beide Gleichungen einsetzen? Dann hätte ich vier Ergebnisse für x1:






Auf was läuft das hinaus?
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Klammer zu viel, hier die letzte Zeile nochmal richtig:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Muss ich x3 jeweils in beide Gleichungen einsetzen? Dann hätte ich vier Ergebnisse für x1:

Nein, nein. Du hast 2 Fälle:

Fall 1:




Fall 2:




In jedem Fall kommt genau ein x_3 und ein x_1 heraus. Zusammen erhältst du dann genau 2 (linear unabängige) Vektoren, die das homogene System lösen. Auf der rechten Seite mußt du allerdings Nullen schreiben.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Auf der rechten Seite mußt du allerdings Nullen schreiben.


Lasse ich die -20 und die 4 dann weg oder muss ich sie auf linke seite bringen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Du läßt sie weg, indem du diese Werte durch Nullen ersetzt.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Und warum machen setzen wir die rechte Seite gleich 0?

Fall 1:




Fall 2:




Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, habe ich nun die Lösung für den Fall 1 x1=-3,5,x2=1,x3=2 und x4=0 und für den Fall 2 x1=-6,16,x2=0,x3=2,5 und x4=1.
Ich bin noch nicht fertig, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Und warum machen setzen wir die rechte Seite gleich 0?

Weil wir erst die allgemeine Lösung für das homogene System bestimmen.

Zitat:
Original von Duinne
Fall 1:




Fall 2:




Du hast nicht die rechten Seiten komplett auf Null gesetzt. Richtig ist:

Fall 1:




Fall 2:




Zitat:
Original von Duinne
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, habe ich nun die Lösung für den Fall 1 x1=-3,5,x2=1,x3=2 und x4=0 und für den Fall 2 x1=-6,16,x2=0,x3=2,5 und x4=1.
Ich bin noch nicht fertig, oder?

Ich fasse den Zwischenstand mal zusammen:

Für die Lösung des homogenen Systems erhalten wir als Basisvektoren:



Jede Linearkombination dieser beiden Vektoren ist also eine Lösung des homogenen Systems. Als nächstes brauchst du eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems. Setze dazu die frei wählbaren Variablen gleich Null und löse sukzessiv auf.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Tut mir Leid, das verstehe ich nicht.

In welcher Gleichung muss ich gleich null setzen?
Die Linearkombination wäre:


Ich verstehe das nicht...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Die Linearkombination wäre:


Genau. Das ist jetzt die allgemeine Lösung des homogenen Problems mit a und b als Parameter.

Für eine spezielle Lösung betrachten wir die Gleichungen, die dieser Matrix entsprechen:
Zitat:
Original von klarsoweit

In diesen Gleichungen setzt du die freien Variablen (also x_2 und x_4) gleich Null und löst nach den restlichen Variablen auf.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Oha, also dann:







Die spezielle Lösung ist dann dementsprechend:
x1=-6,x2=0,x3=2,x4=0

Wie schreibt man die allgemeine und spezielle Lösung korrekt auf?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Eine Möglichkeit sieht so aus:

smile
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Ah okay!

Also riesen Dank nochmal, eine unglaublich gute Unterstützung!

Aber eine Frage hätte ich noch: geht man mit einem LGS mithilfe der Matrix-Form immer so vor?
Also ich übertrage die Gleichungen in eine Matrix und bringe dann alles in das gestaffelte System. Und je nachdem, was für ein gestaffeltes System ich habe, gehe ich dann entsprechend vor.
In meinem Papula überprüft man zuerst die Determinanten, um sich über das Lösungsverhalten klar zu werden. Allerdings ist mir die Bestimmung des Rang noch nicht so klar, auf den es ja ankommt.

Liebe Grüße
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Aber eine Frage hätte ich noch: geht man mit einem LGS mithilfe der Matrix-Form immer so vor?

Das ist in meinen Augen das übliche Verfahren. Mag sein, daß Papula anders vorgeht.

Der Rang ist die Anzahl der Nicht-Nullzeilen, wenn die Matrix die Zeilenstufenform hat. Über den Dimensionssatz erhält man dann die Dimension des Kerns.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - LGS lösen
Zitat:
Original von Duinne
Aufgabe:







Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, denn aus der Differenz der 2. und 3. Zeile folgt
und dies steht im Widerspruch zur 4. Zeile mit .

Ich habe mal vor zig Jahren gelernt, dass so ein Gleichungssystem nicht lösbar ist. Trifft dies jetzt nicht mehr zu ? Ist es erlaubt, widersprüchliche Gleichungen wegzulassen ?
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