Konvergenzradius mit Quotientenkriterium

13.01.2014, 14:54

zahnpasta

Konvergenzradius mit Quotientenkriterium

Meine Frage:
Für welche x ? R ist die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{5^{n} }{\sqrt{3^{n}\left(3n-2\right) } } \left(x-1\right)^{n} \end{eqnarray*}$
konvergent?

Meine Ideen:
Zuerst habe ich das Quotientenkriterium angewendet:
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+ 1} }{a_{n} } |= \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{5^{n} }{\sqrt{3^{n}\left(3n-2\right) } }=5\cdot \sqrt{\frac{3^{n}\left(3n-2\right) }{3^{n+1}\left(3n+1\right) } } =5\cdot \sqrt{\frac{1}{3}\cdot \frac{3n-2}{3n+1} } =5\cdot \sqrt{\frac{1}{3}\cdot \frac{3-\frac{2}{n} }{3+\frac{1}{n} } }=\frac{5}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$
Um den Konvergenzradius zu ermitteln habe ich nun den Kehrwert des ganzen genommen und das dann so zusammen gefasst:
$\begin{eqnarray*} | x-1| \leq \frac{\sqrt{3} }{5} \end{eqnarray*}$
was dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\left(5-\sqrt{3} \right) <x<\frac{1}{5}\left(5+\sqrt{3} \right) \end{eqnarray*}$ ergibt
Besonders bei dem letzten Schritt bin ich mir nicht sehr sicher...
und bei dem ersten habe ich auch kein gutes Gefühl, kann mir einer sagen, wie man es sonst lösen könnte?

13.01.2014, 15:12

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium

Zitat:

Original von zahnpasta
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{5^{n} }{\sqrt{3^{n}\left(3n-2\right) } } \left(x-1\right)^{n} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^{n} }{\sqrt{3^{n}\left(3n-2\right) } } \left(x-1\right)^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von zahnpasta
Zuerst habe ich das Quotientenkriterium angewendet:
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+ 1} }{a_{n} } |= \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{5^{n} }{\sqrt{3^{n}\left(3n-2\right) }} \end{eqnarray*}$

Was soll da der Teil rechts vom Gleichheitszeichen? verwirrt

Zitat:

Original von zahnpasta
$\begin{eqnarray*} 5\cdot \sqrt{\frac{1}{3}\cdot \frac{3-\frac{2}{n} }{3+\frac{1}{n} } }=\frac{5}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Auch das ist Unfug. Der letzte Schritt ist dann ok. Zu untersuchen sind dann noch die Ränder des Konvergenzintervalls.

13.01.2014, 15:48

zahnpasta

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RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium
Danke Klarsoweit für die Antwort.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } |=\lim_{n \to \infty }\frac{5^{n+1}\cdot \sqrt{3^{n}\left(3n-2\right) } }{5^{n} \cdot \sqrt{3^{n+1}\left(3\left(n+1\right)-2 \right) } } =...=\lim_{n \to \infty } 5\cdot \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{3-\frac{2}{n} }{3+ \frac{1}{n} } } =\lim_{n \to \infty } 5\cdot \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{3-0 }{3+ 0 } }=5\cdot \sqrt{\frac{1}{3} }=\frac{5}{\sqrt{3} } <br /> \end{eqnarray*}$
wäre es so nun richtig, oder is auch das Ergebnis falsch?
Was meinst du mit der Untersuchung an den Rändern? muss ich noch angeben, dass alle x außerhalb des Intervalls divergieren?

13.01.2014, 16:03

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium
Das letzte Limes kann weg, ansonsten ok.

Da die Aufgabe lautet, daß man alle x bestimmen soll, für die Reihe konvergiert, muß man auch die Ränder des Konvergenzintervalls untersuchen, denn für diese liefert das Quotientenkriterium keine Aussage. Das heißt aber zwangsläufig nicht, daß die Reihe an den Randpunkten divergiert. Also muß man die Randpunkte separat untersuchen. smile

13.01.2014, 16:35

zahnpasta

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RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium
Achso ok danke!
Also müsste ich die Ränder also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} (5-\sqrt{3}) , \frac{1}{5} (5+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ noch einmal für x einsetzen und dann das Quotientenkriterium anwenden oder geht das auch schneller?

14.01.2014, 08:37

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium
Ja: diese Werte für x einsetzen.
Nein: das Quotientenkriterium anwenden
Wie ich schon sagte, liefert das Quotientenkriterium für die Randpunkte keine Aussage. Du mußt dich also nach einem anderen Kriterium umsehen. smile

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