Basis von Bild(f) bestimmen

13.01.2014, 15:16

eversinceb4

Basis von Bild(f) bestimmen

Hey Leute,
folgende Aufgabe:

Sei die C-lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: C^3 -> C^3 \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f(e_1) = e_1 + 2*e_2 + 3*e_3<br /> f(e_2) = 4*e_1 + e_2 + 4*e_3<br /> f(e_3) = 6*e_1 + 5*e_2 + 10*e_3 \end{eqnarray*}$

definiert, wobei $\begin{eqnarray*} (e_1, e_2, e_3) \end{eqnarray*}$ die kanonische Basis von $\begin{eqnarray*} C^3 \end{eqnarray*}$ ist.

Bestimmen sie eine Basis von Bild(f).

Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher...
Ich habe einfach mal ne Matrix:

1 2 3
4 1 4
6 5 10

Und bin dann durch Umformungen darauf gekommen:

1 2 3
0 -7 -8
0 0 0

Also:
u = e_1 + 2*e_2 + 3*e_3
v = -7*e_2 - 8*e_3

Ist dann <(u,v)> eine Basis von Bild(f)?
Oder ist das alles kompletter Unfug was ich oben gemacht habe? :/

13.01.2014, 15:27

klarsoweit

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RE: Basis von Bild(f) bestimmen
Also ich habe keine Einwände. smile

13.01.2014, 15:30

eversinceb4

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Danke, dann bin ich ja froh. Big Laugh

13.01.2014, 15:50

EBSC

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RE: Basis von Bild(f) bestimmen

Zitat:

Original von eversinceb4
Sei die C-lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: C^3 -> C^3 \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f(e_1) = e_1 + 2*e_2 + 3*e_3<br /> f(e_2) = 4*e_1 + e_2 + 4*e_3<br /> f(e_3) = 6*e_1 + 5*e_2 + 10*e_3 \end{eqnarray*}$

definiert, wobei $\begin{eqnarray*} (e_1, e_2, e_3) \end{eqnarray*}$ die kanonische Basis von $\begin{eqnarray*} C^3 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher...
Ich habe einfach mal ne Matrix:

1 2 3
4 1 4
6 5 10

Sicher, dass deine Matrix wirklich die richtig Dartellungsmatrix von f bzgl deiner Basis ist?

13.01.2014, 16:04

eversinceb4

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Ne, wie meinst du das?
Ich habe einfach nur f(e1), f(e2), f(e3) spaltenweise untereinander geschrieben. Ist das falsch?
Könntest du mir erläutern wie du vorgehen würdest?

13.01.2014, 17:25

EBSC

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Hi,

ich meine folgendes:

(Ich nenne deine Vorgeschlagene Matrix jetzt einmal A)

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 4 \\ 6 & 5 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn nun A die Darstellungsmatrix (bzgl der Standardbasis) von f ist, muss ja gelten:

A*x = f(x).

Nun ist aber:
$\begin{eqnarray*} A\cdot e_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = f(e_{1} ) \end{eqnarray*}$

"Ich habe einfach nur f(e1), f(e2), f(e3) spaltenweise untereinander geschrieben."

Du meinst du hast zeilenweise untereinander geschrieben? Und das ist falsch. In der ersten Spalte "steht f(e1)" in der zweiten "steht f(e2)" und in der dritten Spalte "steht f(e3)".
Das wäre dann die richtige Matrix.

13.01.2014, 17:40

eversinceb4

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Du meinst also so:
1 4 6
2 1 5
3 4 10
...

Am Ende steht dann:

1 4 6
0 -7 -7
0 0 0

Also ist ((1,4,6), (0,-7,-7)) dann meine Basis?

14.01.2014, 08:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von EBSC
Wenn nun A die Darstellungsmatrix (bzgl der Standardbasis) von f ist, muss ja gelten:

Wer sagt denn, daß die von eversince4b betrachtete Matrix die Abbildungsmatrix von f sein soll. Das hat nirgendwo gestanden.

Zitat:

Original von EBSC
Du meinst du hast zeilenweise untereinander geschrieben? Und das ist falsch.

Nee, das ist gerade richtig. Es geht doch darum, aus gegebenen Vektoren eine Basis rauszufiltern. Und das geht immer so (jedenfalls mache ich es so), daß man die betreffenden Koordinatenvektoren zeilenweise in eine Matrix schreibt und diese auf Zeilenstufenform bringt. Wenn man die gemachten Umformungen auf die Bildvektoren überträgt, erhalten wir: $\begin{eqnarray*} f(e_3) = 2 \cdot f(e_1) + f(e_2) \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen wir nur noch schauen, ob $\begin{eqnarray*} f(e_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(e_2) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Dazu betrachten wir $\begin{eqnarray*} f(e_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(e_2) - 4 \cdot f(e_1) \end{eqnarray*}$ . Da sieht man das auf einen Blick und das sind auch die von eversince4b geposteten Basisvektoren.

14.01.2014, 18:17

EBSC

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Hi,
erstmal sorry, dass meine Antwort so lange gedauert hat.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von EBSC
Wenn nun A die Darstellungsmatrix (bzgl der Standardbasis) von f ist, muss ja gelten:

Wer sagt denn, daß die von eversince4b betrachtete Matrix die Abbildungsmatrix von f sein soll. Das hat nirgendwo gestanden.

Das ist mir in der Tat jetzt ziemlich peinlich unglücklich

Ich bin die ganze Zeit (selbstverständlich zu Unrecht), davon ausgegangen, dass der TE eine Darstellungsmatrix geschrieben hat. (Und hier wird ja bekanntlich Spaltenweise hintereinander geschrieben).

Ich glaube allgemein, dass meine Absicht hinter meinem "Einmischen" falsch rübergekommen ist.
Das die Basis falsch bestimmt war, wollte ich nicht behaupten, denn die Darstellungsmatrix bzg. seiner Basis Transponiert ist ja gerade seine gepostete Matrix also ist das Ergebnis sowiso richtig.

Ich dachte nur, wie gesagt, er meine eine Darstellungsmatrix und hat auf diese dann elementare Zeilenumformungen angewendet und das darf man im allgemeine ja nicht.

So, hoffe nun, dass ich mich verständlich ausgedrückt habe und entschuldige mich noch einmal dafür, dass ich Verwirrung gestiftet habe.
Schönen Tag noch.

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