Beweis n^3-n durch 3 teilbar mit Kongruenz

13.01.2014, 17:42	zteve2	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis n^3-n durch 3 teilbar mit Kongruenz Meine Frage: Hallo, wir haben heute per Kongruenz bewiesen, das für alle $\begin{eqnarray} n\geq 0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} n^{3} - n \end{eqnarray}$ teilbar durch 3. Die Lösung konnte ich jedoch nicht ganz nachvollziehen und habe hierzu einige Fragen: Hierzu haben wir die Kongruenzsätze benutzt: wenn: $\begin{eqnarray} a\equiv b(m) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c\equiv d(m) \end{eqnarray}$ dann gilt: $\begin{eqnarray} a+c\equiv b+d(m) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ac\equiv bd(m) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{k}\equiv b^{k}(m) \end{eqnarray}$ Nun haben wir für 0,1 und 2 eingesetzt: $\begin{eqnarray} n\equiv 0(3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{3} \equiv 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{3} - n = 0-0 = 0 \end{eqnarray}$ soweit konnte ich noch folgen 0-0 ist 0, daher auch teilbar ohne rest. das gleiche mit n = 1: $\begin{eqnarray} n\equiv 1(3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{3} \equiv 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{3} - n = 1-1 = 0 \end{eqnarray}$ Das läuft auch auf 0 raus, also auch noch logisch. Nun kommt mein erstes Problem: $\begin{eqnarray} n\equiv 2(3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{3} \equiv 8 \equiv 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{3} - n = 2-2 = 0 \end{eqnarray}$ Welche Regel wurde hier benutzt, zu 2 zu machen. Und wieso reicht es aus, das für die ersten 3 Zahlen auszurechnen? Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen. Viele Grüße, Steven Meine Ideen: Meine Idee dazu ist, das 3 in der gleichen Restegruppe, wie 0 ist, bzw. 4 bei 1 und 5 bei 2 usw. Bloß bin ich mir nicht sicher, ob man das dann einfach so für diese Formel annehmen kann, dass allein die Zuordnung der Restegruppe als Beweis reicht.
13.01.2014, 18:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede ganze Zahl lässt bei Division durch 3 den Rest 0, 1 oder 2 , also genügt es, diese 3 Restklassen zu betrachten. $\begin{eqnarray} n\equiv 0(3)\Rightarrow n^3\equiv 0^3=0\equiv 0(3) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} 0=30+0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\equiv 1(3)\Rightarrow n^3\equiv 1^3=1\equiv 1(3) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} 1=30+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\equiv 2(3)\Rightarrow n^3\equiv 2^3=8\equiv 2(3) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} 8=32+2 \end{eqnarray}$ In jedem Fall ist $\begin{eqnarray} n^3\equiv n(3) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} n^3-n \equiv 0(3) \end{eqnarray*}$
13.01.2014, 18:35	zteve2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das klingt schon plausiebler. Noch eine Frage dazu: Kann ich bei Kongruenz, wie bei normalen Gleichungen, den Wert als Negativ auf die andere Seite bringen, wie das mit dem n passiert ist?
13.01.2014, 19:10	Donquixote	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich ergänze mal deine Rechenregeln von oben: Es gilt auch: $\begin{eqnarray} a-c\equiv b-d (m) \end{eqnarray}$ . Ein anderer Lösungsansatz wäre folgender: Da 3 prim, gilt $\begin{eqnarray} n^3\equiv n (m) \end{eqnarray}$ nach dem kleinen Satz von Fermat und damit $\begin{eqnarray} n^3-n\equiv n-n\equiv 0 (m) \end{eqnarray}$
13.01.2014, 19:36	zteve2	Auf diesen Beitrag antworten »
In wie weit hilft mir diese Formel? a steht ja quasi für n^3 , c für n und m steht für 3. b oder d muss 0 sein. somit wäre die erste Formel: $\begin{eqnarray} a\equiv c (m) \end{eqnarray}$ Hier hören meine Ideen jedoch auf, wie ich von $\begin{eqnarray} n^{3} \equiv n (3) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} n^{3} -n \equiv 0(3) \end{eqnarray}$ komme.
13.01.2014, 22:22	zteve2	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag: Ich habe etwas recherchiert und habe das hier einen Lösungsansatz: n^3 ist a und n ist b: $\begin{eqnarray} a\equiv b(3) \end{eqnarray}$ nun kommt folgende Formel: $\begin{eqnarray} a - c\equiv b-d(3) \end{eqnarray}$ Hier ist c und d, ebenso wie b: n Das sollte gültig sein, da hierdurch auch die Formel: $\begin{eqnarray} c\equiv d(3) \end{eqnarray}$ gültig ist. Eingesetzt bedeutet das: $\begin{eqnarray} n^{3} -n \equiv n-n(3) \end{eqnarray}$ was sich dann zu $\begin{eqnarray} n^{3} -n \equiv 0(3) \end{eqnarray}$ auflöst. Bin ich mit meiner Annahme richtig oder habe ich da was falsch verstanden?
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14.01.2014, 17:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt. Etwas einfacher schreibt sich das so: $\begin{eqnarray} n^3\equiv n (3) \wedge -n\equiv -n (3) \Rightarrow n^3-n\equiv 0 (3) \end{eqnarray}$

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