2^x ableiten

13.01.2014, 19:09

Alpha664

2^x ableiten

Ich soll die Ableitung von 2^x mit dem Differenzenquotienten finden.
traurig

was ich raus habe ist: 2^x lim (h-->0) 2^h -1 / h

Tipp unserer Lehrerin: setzt bei 0 eine möglichst kleine Zahl ein.

Aber wie finde ich damit jetzt die Ableitung meiner Funktion? unglücklich

((

13.01.2014, 23:51

Kasen75

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Hallo,

wenn ich das richtig sehe, dann sollt ihr durch einsetzen eines (sehr kleinen) Wertes für h auf die Ableitung kommen.

Du hast jetzt richtig den Differentialquotienten aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} 2^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{2^h-1}{h} \end{eqnarray*}$

Man kann aber auch den Differenzenquotienten aufschreiben. Dabei geht h nicht gegen 0 sondern es wird eine spezifische Differenz betrachtet. Die Differenz kann z.B. 0,00001 betragen.

$\begin{eqnarray*} 2^x*\frac{2^{0,00001}-1}{0,00001} \end{eqnarray*}$

Den zweiten Faktor kann man mit dem Taschenrechner ausrechnen. Das Ergebnis ist eine gute Näherung und sollte dir bekannt vorkommen.

Grüße.

14.01.2014, 15:38

rudizet

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RE: 2^x ableiten
Die Aufgabe lautet also $\begin{eqnarray*} ~~y=2^x~~ \end{eqnarray*}$ nach der h-Methode abzuleiten, d.h.

$\begin{eqnarray*} y'=lim_{h \to 0} \frac{2^{x+h}-2^x}{h}=lim_{h \to 0} \frac{2^x(2^h-1)}{h}=lim_{h \to 0} \frac{2^x(2^h\cdot ln2)}{1}=2^x\cdot ln2~~ \end{eqnarray*}$

mit der Regel von H'ospedale, weil der Grenzwert $\begin{eqnarray*} ~~0/0~~ \end{eqnarray*}$ ist
Gruß von rudizet

14.01.2014, 15:52

10001000Nick1

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RE: 2^x ableiten

Zitat:

Original von rudizet
$\begin{eqnarray*} lim_{h \to 0} \frac{2^x(2^h-1)}{h}=lim_{h \to 0} \frac{2^x(2^h\cdot ln2)}{1} \end{eqnarray*}$

Wie bist du denn darauf gekommen?

14.01.2014, 16:07

rudizet

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RE: 2^x ableiten
Das zweite ist die Ableitung nach h des ersten Ausdrucks gemäß H'ospedale.

14.01.2014, 16:09

10001000Nick1

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Erstens: Das ist die Regel von L'Hospital.

Zweitens: Woher weißt du denn, dass $\begin{eqnarray*} (2^h)'=2^h\cdot \ln(2) \end{eqnarray*}$ ?

14.01.2014, 16:18

rudizet

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Es handelt sich doch um eine elementare Ableitung, die in der Formelsammlung steht.

14.01.2014, 16:20

10001000Nick1

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Aber man soll doch hier in dieser Aufgabe genau diese Ableitung berechnen.

14.01.2014, 16:20

Nusskat

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In Ergänzung zu Nicks Hinweis, dass falsch abgeleitet wurde:

Der richtige LaTeX-Befehl lautet:

code:
1:	\lim_{h \to 0} f(x)

14.01.2014, 17:00

Egal

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Ich bin fasziniert. Die Aufgabe war doch nur ganz simpel eine Näherung für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 zu bestimmen.
Da suggeriert einer, dass der wert ln(2) als numerischer wert einem bekannt vorkommen sollte.
Der nächste will es ganz allgemein über die h-Methode angehen und verwendet dann eine Grenzwertberechnungsmethode deren Namen er nicht richtig weiß.

Gott sei Dank brauch der Fragensteller das garnicht, der wollte ja nur eine ganz simple numerische Näherung berechnen.

Für die Frage wie man vorgehen könnte empfehle ich die Lektüre von: Erläuterung zur Ableitung von e^x

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