Ermitteln ganzrationaler Funktionen mithilfe von Matrix (mit GTR)
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13.01.2014, 20:25 b3rlin3rplaya23 Auf diesen Beitrag antworten »
Ermitteln ganzrationaler Funktionen mithilfe von Matrix (mit GTR)
Ich habe bei mehreren Aufgaben Probleme, wobei ich eventuell zweimal den gleichen Fehler habe.
1.) Die Wendetangente an den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades im Punkt P(0|1) besitzt die Steigung -24. Hoch- und Tiefpunkt der Funktion liegen jeweils zwei Einheiten von der y-Achse entfernt.

Aus der Aufgabe entnehme ich:
f(0)=1 (wenn ich hieraus eine Gleichung forme, entnehme ich schon d=1)
f'(0)=-24 (wenn ich hieraus eine Gleichung forme, entnehme ich c=-24)
f''(0)=0
f'(2)=0
f'(-2)=0

Ich habe nun aber doch eine Gleichung zuviel und meiner Endmatrix entnehme ich dann, dass a und b 0 wären ... Jedoch muss das falsch sein, weil ich eine ganzrationale Funktion 3.Grades will. Wo liegt mein Fehler?

2.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(0|4) an.

Aus der Aufgabe entnehme ich:
f''(1)=0
f''(-1)=0
f(1)=1,5
f(0)=4 -> e=4
f'(0)=0 -> d=0

Auch hier kommt in meiner Endmatrix das a, b und c 0 wären, aber auch das kann ja nicht sein. Habe ich eventuell zweimal denselben Fehler gemacht?

3.) Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die Nullstellen x=-1 und x=3. Zwischen diesen Nullstellen schließt sie mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt 10 2/3 FE ein.

Aus der Aufgabe entnehme ich:
f(-1)=0
f(3)=0

Hier fehlt mir eine Gleichung zum lösen. Vermutlich muss ich irgendwie mit der Integralrechnung daran .. Jedoch habe ich hier keinen weiteren Ansatz.
14.01.2014, 08:31 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermitteln ganzrationaler Funktionen mithilfe von Matrix (mit GTR)
zu 1: bei einem Polynom 3. Grades liegen die Extrempunkte (sofern welche existieren) symmetrisch zum Wendepunkt. Insofern ist eine Gleichung eh überflüssig. Und wo dein Fehler liegt? Dazu müßte man mal deine Rechnung sehen. Wir sind ja keine Hellseher. smile

zu 2: Auch hier müßte man mal deine Rechnung sehen. Entscheidend ist der richtige Ansatz aufgrund der "Achsensymmetrie zur y-Achse".

zu 3: wähle den Ansatz . Damit hast du die Nullstellen eingebaut und brauchst nur noch mit der Integralrechnung das a zu bestimmen. smile
14.01.2014, 16:05 b3rlin3rplaya23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
zu 1: bei einem Polynom 3. Grades liegen die Extrempunkte (sofern welche existieren) symmetrisch zum Wendepunkt. Insofern ist eine Gleichung eh überflüssig. Und wo dein Fehler liegt? Dazu müßte man mal deine Rechnung sehen. Wir sind ja keine Hellseher. smile


zu 1.):
Demnach müsste ich diese streichen, aber dann fehlt mir doch wieder eine Gleichung oder?
f'(2)=0
f'(-2)=0

Zitat:
Original von klarsoweit
zu 2: Auch hier müßte man mal deine Rechnung sehen. Entscheidend ist der richtige Ansatz aufgrund der "Achsensymmetrie zur y-Achse".


zu 2.):
Meine Matrix, die ich in den taschenrechner eingebe, sieht so aus:
1 1 1 1,5
12 6 2 0
12 -6 2 0

Die Endmatrix sagt dann (wo ich schon einen Eingabefehler hatte):
1 0 0 -0,3
0 1 0 0
0 0 1 1,8

Meine Endfunktion lautet dann: -0,3x^4+1,8x²+4 … Sieht ja schon mal besser aus, macht aber auch keinen Sinn, weil die Funktion nicht die geforderten Punkte einschließt … Also muss ich auch da noch einen Fehler in meinem Ansatz haben.

Zitat:
Original von klarsoweit
zu 3: wähle den Ansatz . Damit hast du die Nullstellen eingebaut und brauchst nur noch mit der Integralrechnung das a zu bestimmen. smile


Ich muss ehrlich gestehen, dass mir hier vollkommen das Verständnis fehlt, wie ich die Integralrechnung nun formen und rausbekommen muss und wie ich das mit der Matrix löse verwirrt
14.01.2014, 18:10 b3rlin3rplaya23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat da vielleicht irgendjemand eine helfende Idee von euch? unglücklich unglücklich unglücklich
14.01.2014, 19:53 Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 1. kannst du auf eine der beiden Bedingungen verzichten, nicht auf beide. Das ist aber eine kann-Regelung kein muss. Wenn du das nicht tust, solltest du eine Nullzeile erhalten und ansonsten die gleichen Werte.

Zu der 2. du würdest uns helfen, wenn du die Gleichungen aus denen du Werte entnommen hast aufschreiben würdest. Die Matrixschreibweise ist zwar ganz nett, aber hilft nur bedingt bei der Suche nach Fehlern.

Zu 3. Der Vorschlag von klarsoweit ist ein Vorschlag der den Vorgang vereinfachen soll, du musst den natürlich nicht nutzen, aber für polynomfunktionen gilt, dass man sie in sogenannte Linearfaktoren zerlegen kann und dann werden sie eben so dargestellt wie von klarsoweit gezeigt. Damit reduzierst du die Arbeit erheblich.
14.01.2014, 20:27 b3rlin3rplaya23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egal
Bei der 1. kannst du auf eine der beiden Bedingungen verzichten, nicht auf beide. Das ist aber eine kann-Regelung kein muss. Wenn du das nicht tust, solltest du eine Nullzeile erhalten und ansonsten die gleichen Werte.

Zu der 2. du würdest uns helfen, wenn du die Gleichungen aus denen du Werte entnommen hast aufschreiben würdest. Die Matrixschreibweise ist zwar ganz nett, aber hilft nur bedingt bei der Suche nach Fehlern.

Zu 3. Der Vorschlag von klarsoweit ist ein Vorschlag der den Vorgang vereinfachen soll, du musst den natürlich nicht nutzen, aber für polynomfunktionen gilt, dass man sie in sogenannte Linearfaktoren zerlegen kann und dann werden sie eben so dargestellt wie von klarsoweit gezeigt. Damit reduzierst du die Arbeit erheblich.


zu 1.:
Ok, das habe ich jetzt gemacht, sodass ich diese beiden Gleichungen verwende:

f''(0)=0
eingesetzt (für f''(x)=6ax+2b):
0=0a+2b

f'(2)=0 (eingesetzt für f'(x)=3ax²+2bx(+c fällt ja weg, weil ich das bereits ermittelt habe)):
0=12a+4b

Eingabematrix:
0 2 0
12 4 0

Ausgabematrix:
1 0 0
0 1 0

Das kann ja immer noch nicht richtig sein. Also habe ich entweder was falsch verstanden oder ich habe davor noch irgendwo einen Fehler eingebaut.



zu 2.:
d und e habe ich hier ja bereits ermittelt.

Meine 3 Gleichungen sind dann:

f(1)=1,5
1,5=1a+1b+1c
f''(1)=0
0=12a+6b+2c
f''(-1)=0
0=12a-6b+2c

Daraus komme ich dann auf die zuvor bereits geschrieben Eingabematrix:
1 1 1 1,5
12 6 2 0
12 -6 2 0

Meine Ausgabematrix zeigt an:
1 0 0 -0,3
0 1 0 0
0 0 1 1,8


Bei 3. versuche ich erstmal ein wenig weiterzurechnen mit euren Tipps, ob ich da jetzt auf etwas sinnvolles komme smile
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14.01.2014, 20:39 Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von b3rlin3rplaya23

f'(2)=0 (eingesetzt für f'(x)=3ax²+2bx(+c fällt ja weg, weil ich das bereits ermittelt habe)):
0=12a+4b


Bleiben wir bei 1. Das ist ein dicker fetter Fehler. Du hast c zwar schon ermittelt, aber deswegen fällt das nicht weg. c=-24 musst du da schon hinschreiben. Das einzige was du darfst ist direkt die -24 hinschreiben aber c gleich ganz weglassen geht natürlich nicht.
14.01.2014, 21:05 b3rlin3rplaya23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egal
Zitat:
Original von b3rlin3rplaya23

f'(2)=0 (eingesetzt für f'(x)=3ax²+2bx(+c fällt ja weg, weil ich das bereits ermittelt habe)):
0=12a+4b


Bleiben wir bei 1. Das ist ein dicker fetter Fehler. Du hast c zwar schon ermittelt, aber deswegen fällt das nicht weg. c=-24 musst du da schon hinschreiben. Das einzige was du darfst ist direkt die -24 hinschreiben aber c gleich ganz weglassen geht natürlich nicht.


Aber dann habe ich ja 2 Gleichungen und 3 Parameter, auch wenn ich c schon weiß. Meine Endmatrix macht dann keinen Sinn
14.01.2014, 21:13 etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du unbedingt mit Hilfe einer Matrix rechnen willst, schau mal hier:

Zu 1)

Ansatz: f(x)=ax³+bx²+cx+d, f'(x) und f''(x) entsprechend

code: 
1:
2:
3:
4:

P(0|1)   >>> 0a +0b +0c +1d = 1
-24      >>> 0a +0b +1c +0d = -24
MP(2|y)  >>> 12a+4b +1c +0d = 0
MP(-2|y) >>> 12a-4b +1c +0d = 0
14.01.2014, 21:26 b3rlin3rplaya23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von etzwane
Also wenn du unbedingt mit Hilfe einer Matrix rechnen willst, schau mal hier:

Zu 1)

Ansatz: f(x)=ax³+bx²+cx+d, f'(x) und f''(x) entsprechend

code: 
1:
2:
3:
4:

P(0|1)   >>> 0a +0b +0c +1d = 1
-24      >>> 0a +0b +1c +0d = -24
MP(2|y)  >>> 12a+4b +1c +0d = 0
MP(-2|y) >>> 12a-4b +1c +0d = 0


Mittlerweile hab ich auch meinen Fehler gefunden. Danke für eure Hilfe! smile
Kann mir vielleicht noch jemand sagen, wo mein Problem bei der 2. Aufgabe lag?
14.01.2014, 21:33 b3rlin3rplaya23 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 3. Aufgabe habe ich also jetzt aufgeschrieben, dass ich das Integral von -1 bis 3 der Funktion a*(x+1)*(x-3) berechnen will. Ich weiß ja schon, dass dort 10 2/3 rauskommen muss. Wie leite ich nun aber diese Funktion auf? Sorry, ich stehe heute anscheinend neben mir. Und wie muss ich das a beim aufleiten behandeln? Ich wollte das nun ausschreiben und dann eigentlich nach a umformen.
14.01.2014, 21:34 Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere den Funktionsterm aus, behandle a wie eine Zahl und berechne die Stammfunktion ganz normal mit Hilfe der Potenzregel.
14.01.2014, 21:46 etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2)

Ansatz:
f(x)=ax^4+bx²+c, wegen der Achssymmetrie entfallen die ungeraden Potenzen
f'(x) und f''(x) entsprechend

code: 
1:
2:
3:
4:

P(0|4)    >>> 0a + 0b + 1c = 4
MP(0|4)   >>> 0a + 0b + 0c = 0      diese Zeile weglassen
WP(1|3/2) >>> 1a + 1b + 1c = 3/2
WP(1|3/2) >>> 12a+ 2b + 0c = 0
14.01.2014, 21:51 b3rlin3rplaya23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egal
Multipliziere den Funktionsterm aus, behandle a wie eine Zahl und berechne die Stammfunktion ganz normal mit Hilfe der Potenzregel.


f(x)=a*(x+1)*(x-3)
= a*x²-3x+x-3
F(x)=ax*1/3x³-3/2x²+1/2x²-3x

Richtig oder habe ich was falsch gemacht?
15.01.2014, 08:19 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von b3rlin3rplaya23
f(x)=a*(x+1)*(x-3)
= a*x²-3x+x-3

Richtig ist: f(x)=a*(x+1)*(x-3) = a*(x²-3x+x-3)
Im übrigen kann man noch -3x + x zusammenfassen. smile
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