Bevölkerungswachstum exponentiell

14.01.2014, 10:01

Tipso

Bevölkerungswachstum exponentiell

Hi,

Zitat:

Die Bevölkerung eines Entwicklungslandes wächst jährlich um 16.00%. Wie stark muß das Volkseinkommen jährlich wachsen, damit sich das Einkommen pro Kopf innerhalb von 3 Jahren verdoppelt? Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.

$\begin{eqnarray*} B_t = B_0 *a^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_t = B_0 *1.16^3 = 1.56 \end{eqnarray*}$

Die Bevölkerung wächst also um 56 % in 3 Jahren.
-----------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} G_t = G_0 * a^t = 2 \end{eqnarray*}$

Gefragt ist das G_0 (Einkommen, mit Berücksichtigung des Bevölkerungswachstums).

$\begin{eqnarray*} G_t = 1.56*G_0*a^3 = 2 \end{eqnarray*}$

verwirrt

LaTeX-Tags korrigiert. Steffen

14.01.2014, 10:36

klarsoweit

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RE: Bevölkerungswachstum Exponentiell

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} G_t = G_0 * a^t = 2 \end{eqnarray*}$

Gefragt ist das G_0 (Einkommen, mit Berücksichtigung des Bevölkerungswachstums).

$\begin{eqnarray*} G_t = 1.56*G_0*a^3 = 2 \end{eqnarray*}$

Hier ist der Ansatz nicht sauber. Das Volkseinkommen nach 3 Jahren (= G_3) soll doch das doppelte des Startwerts (= G_0) sein. Richtig ist also:

$\begin{eqnarray*} G_3 = 1.56*G_0*a^3 = 2G_0 \end{eqnarray*}$

14.01.2014, 10:53

Tipso

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$\begin{eqnarray*} G_3 = 1.56*G_0*a^3 = 2G_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 1.09 \end{eqnarray*}$

verwirrt

14.01.2014, 11:07

klarsoweit

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RE: Bevölkerungswachstum Exponentiell
Sorry, jetzt habe ich mich obendrein noch aufs Glatteis führen lassen. Hammer

Also das Einkommen pro Kopf soll sich innerhalb von 3 Jahren verdoppeln. Wenn G_t das gesamte Volkseinkommen ist, dann muß also gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{G_3}{B_3} = 2 \frac{G_0}{B_0} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} G_t = G_0 \cdot a^t \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} G_3 = G_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$ erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{G_3}{B_3} = \frac{G_0 \cdot a^3}{1,56 \cdot B_0} = 2 \frac{G_0}{B_0} \end{eqnarray*}$

und somit: $\begin{eqnarray*} G_0 \cdot a^3 = 2 \cdot 1,56 \cdot G_0 \end{eqnarray*}$

Sorry, daß ich das übersehen hatte.

14.01.2014, 11:20

Tipso

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Demnach ist das Ergebnis 46 %. verwirrt

Ich verstehe nicht, warum wir Gesamteinkommen durch Bevölkerung dividieren. verwirrt

14.01.2014, 11:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tipso
Demnach ist das Ergebnis 46 %.

Stimmt.

Kleine Anmerkung am Rande:

Wie so oft, so helfen auch hier kleine Plausibilitätsbetrachtungen, um zumindest manche Resultate sofort in Frage zu stellen.

Wenn die Bevölkerung bereits um 16% jährlich wächst, und zudem auch noch das Einkommen pro Kopf stark wachsen soll - dann sollte unmittelbar klar sein, dass das mit einem Wachstum des Gesamteinkommens von nur 9% nicht machbar ist.

14.01.2014, 11:32

Tipso

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Verstehe aber dennoch nicht ganz warum hier dividiert wird:

$\begin{eqnarray*} \frac{G_3}{B_3} = 2 \frac{G_0}{B_0} \end{eqnarray*}$

Rein vom Verständnis ist es für mich nicht logisch bzw. nachvollziehbar.

14.01.2014, 11:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tipso
Ich verstehe nicht, warum wir Gesamteinkommen durch Bevölkerung dividieren. verwirrt

Weil es um das "Pro-Kopf-Einkommen" geht. Und wie wird das wohl berechnet?

14.01.2014, 11:51

Tipso

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Danke.

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