Quadriken in die Normalform - Diagonalisierungsverfahren

14.01.2014, 10:58	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadriken in die Normalform - Diagonalisierungsverfahren Hallo, ich lerne gerade für eine kleine Zwischenklausur im Semster und wiederhole gerade die Quadriken. Ich habe eine kleine Frage, was das Diagonalisierungsverfahren angeht, welches in anwende, um die Normalform herauszubekommen. Die allg. Formel ist mir so bekannt: $\begin{eqnarray} q(x)=x^{T}Ax+b^{T}x+c \end{eqnarray}$ Um das Diagonalisierungsverfahren anzuwenden setze ich: $\begin{eqnarray} x=By \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q(x)=y^{T}B^{T}ABy+(B^{T}b)^{T}y+c \end{eqnarray}$ Leider verstehe ich nicht ganz, wie sich genau die Stelle ... $\begin{eqnarray} (B^{T}b)^{T}y \end{eqnarray}$ ... zusammensetzt. Voher ist $\begin{eqnarray} b^{T}x \end{eqnarray}$ gegeben (siehe allg. Formel für Quadriken) und durch Einsetzten von $\begin{eqnarray} x = By \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} (B^{T}b)^{T}y \end{eqnarray}$ ???? Bitte um eine kleine Erklärung - vielen Dank
14.01.2014, 14:21	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass den "Exponenten" T einfach weg. Das verwirrt nur. Schreibe die Quadrik als $\begin{eqnarray} q(\vec x)=\underbrace{\vec x\cdot A\vec x}_{\text{Skalarprodukt}}+\underbrace{\vec b\cdot \vec x}_{\text{Skalarprodukt}}+\underbrace{c}_{\text{Konstante}} \end{eqnarray}$ Dabei ist A eine symmetrische Matrix und $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ ist ein gegebener Vektor. c ist eine gegebene Konstante. Geometrisch stellt eine Quadrik eine Kurve 2.Ordnung dar, also eine Ellipse oder Parabel oder Hyperbel usw., welche irgendwie "schief" im Raum liegt, wobei der Mittelpunkt nicht im Koordinatenursprung liegen muss. Der Sinn der Rechnung besteht darin, eine solche Drehung $\begin{eqnarray} \vec x=B\vec y \end{eqnarray}$ des Koordinatensystems zu finden, dass die Koordinatenachsen (x- und y-Achse) parallel zur Symmetrieachse der Kurven liegen. Einsetzen der Transformation liefert $\begin{eqnarray} q(B\vec y)=\underbrace{B\vec y\cdot A\vec B\vec y}_{\text{Skalarprodukt}}+\underbrace{\vec b\cdot B\vec y}_{\text{Skalarprodukt}}+\underbrace{c}_{\text{Konstante}} \end{eqnarray}$ Da für beliebige Vektoren $\begin{eqnarray} \vec m, \vec n \end{eqnarray}$ und eine beliebige Matrix B im Skalarprodukt stets gilt $\begin{eqnarray} B\vec m\cdot \vec n=\vec m\cdot B^T\vec n \end{eqnarray}$ , kann man schreiben $\begin{eqnarray} q(B\vec y)=\underbrace{\vec y\cdot B^TA\vec B\vec y}_{\text{Skalarprodukt}}+\underbrace{B^T\vec b\cdot \vec y}_{\text{Skalarprodukt}}+\underbrace{c}_{\text{Konstante}} \end{eqnarray}$ Man hat also eine neue Quadrik mit der neuen Matrix $\begin{eqnarray} A'=B^TAB \end{eqnarray}$ und mit dem neuen Vektor $\begin{eqnarray} \vec b'=B^T\vec b \end{eqnarray}$ . Der Witz besteht nun darin, die Drehung B so zu wählen, dass die neue Matrix $\begin{eqnarray} A'=B^TAB \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix wird. Genau dann liegt die Kurve (z.B. die Elleipse) nicht mehr "schief" sondern "gerade" im neuen Koordinatensystem. Das ist der Witz der Sache!
14.01.2014, 15:06	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, vielen Dank. $\begin{eqnarray} B\vec m\cdot \vec n=\vec m\cdot B^T\vec n \end{eqnarray}$ <-- Dieser Zusammenhang war mir so gar nicht bewusst. Verstehe... Was das ganze geometrisch bezeichnet, wusste ich sogar. Vielen Dank - wirklich super erklärt!!!!

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