Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch

14.01.2014, 12:03

helixia

Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch

Meine Frage:
Hallo erstmal,
ich habe einige Aufgaben mit Grenzwerten zu berechnen und hätte gerne eine Bestätigung, dass die Ergebnisse richtig sind (da ich mir noch unsicher bin bei Grenzwerten) bzw. Hilfe bei einer der Aufgaben. Für die ersten zwei schreibe ich nur die Aufgabe und mein Ergebniss, bei drei und vier meine Ansätze:
1. \lim_{x \to 1} ln(x²)/1-x² =1/2

2.\lim_{x \to 1} ln(x)- x+1/(x-1) ln x = 1

3.\lim_{x \to \pi/2 } (x-\pi /2)² sin x/ cos x

4. \lim_{x \to \infty } (arctan(6x)- (\pi/2))/sin(18/x)

Meine Ideen:
bei der dritten:
ich kann L'H anwenden da der Fall 0/0 zutrifft, nach der ersten Ableitung erhalte ich dann
2*(x-\pi/2) cos(x)/ -sin(x).

Dann wende ich nochmals L'H an und erhalte
2*-sin(x)/-cos(x).
Jetzt komm ich irgendwie nicht weiter. Muss ich nochmals L'H anwenden?

Bei der vierten sieht es so aus:
bin mir nicht sicher warum, habe L'H angewendet, da es meines erachtens nach -\infty strebt, aber bin da nicht sicher (da es ja bei x (ohne 0) immer mehr richtig 0 strebt).
Nach der ersten Ableitung habe ich dann sowas raus:

((6/36x²+1)-0) / (-18*cos(18/x))/x²

nach umstellen erhalte ich dann:

6*x² / (36x²+1 -18cos(18/x)).
Ich komme dann aber einfach nicht weiter.

Was mache ich falsch?
Vorab danke für eure Hilfe

14.01.2014, 12:16

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch

Zitat:

Original von helixia
1. \lim_{x \to 1} ln(x²)/1-x² =1/2

Also dies: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln(x^2)}{1-x^2} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Und dazu der Funktionsgraph:

Dein Ergebnis paßt nicht zum Graphen.

Zitat:

Original von helixia
2.\lim_{x \to 1} ln(x)- x+1/(x-1) ln x = 1

Also dies: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln(x)- x+1}{(x-1) ln(x)} = 1 \end{eqnarray*}$

Und dazu der Funktionsgraph:

Dein Ergebnis paßt nicht zum Graphen.

Zitat:

Original von helixia
3.\lim_{x \to \pi/2 } (x-\pi /2)² sin x/ cos x

Meine Ideen:
bei der dritten:
ich kann L'H anwenden da der Fall 0/0 zutrifft, nach der ersten Ableitung erhalte ich dann
2*(x-\pi/2) cos(x)/ -sin(x).

Da hast du im Zähler nicht richtig abgeleitet.

14.01.2014, 12:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von helixia
2.\lim_{x \to 1} ln(x)- x+1/(x-1) ln x = 1

Ich denke, hier kommt was ganz anderes raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1} \left( \ln(x)-x + \frac{1}{x-1}\ln(x) \right) = -1 + \lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = -1 + \lim_{x\to 1} \frac{1}{x} = 0 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Anders als klarsoweit gehe ich nicht von vornherein von massig vergessenen Klammern a la

\lim_{x \to 1} (ln(x)- x+1)/((x-1) ln x)

aus, sondern nehme die Leute zunächst beim Wort. Augenzwinkern

14.01.2014, 13:59

helixia

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch
Großes Sorry,

Hal 9000, ich habe tatsächlich die Klammern oberhalb und unterhalb des Bruchstriches vergessen, ich hatte erst Probleme mit dem Formeleditor.

Ich habe mich bei der ersten verechnet und bekomme nun 1 raus.

Bei der zweiten habe ich beim kürzen mich geirrt und erhalte nun
Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x ln(x)+x-1} \end{eqnarray*}$
daraus folgt dann = -1/2

Zur dritten neue Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2*(x-\pi/2)*sin(x)+(x-\pi/2)²*cos(x)}{-sin(x)} \end{eqnarray*}$

somit habe ich dann 0.

Soweit richtig?

14.01.2014, 14:07

helixia

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch
Danke auch noch an Klarsoweit, deine "also dies" stimmten

Hier jetzt nochmal die letzte Aufgabe ordentlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{arctan(6x)-\pi/2}{sin(18/x)} \end{eqnarray*}$

14.01.2014, 14:11

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch

Zitat:

Original von helixia
Ich habe mich bei der ersten verechnet und bekomme nun 1 raus.

Wie du eigentlich sehen müßtest, paßt auch das nicht zu dem Funktionsgraphen.

Die Aufgaben 2 und 3 sind jetzt ok. Bei Aufgabe 4 wäre es schön, wenn du auch mal die Ableitung mit Latex postest. smile

14.01.2014, 15:04

helixia

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch
also die Ableitung der vierten sieht bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{6}{36x²+1}}{\frac{-18 cos(18/x)}{x²} } \end{eqnarray*}$

und zur ersten
ich sehe ja, dass es nicht stimmt mit der Kurve, aber wenn ich dort ableite erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{x}}{2x} \end{eqnarray*}$

somit also 1/x²

14.01.2014, 15:58

helixia

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch
also die Ableitung der 4. gekürzt wäre dann ja

$\begin{eqnarray*} \frac{x²}{3cos(18/x)*(36x²+1)} \end{eqnarray*}$ .

aber wie nun weiter?

14.01.2014, 16:11

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch

Zitat:

Original von helixia
und zur ersten
ich sehe ja, dass es nicht stimmt mit der Kurve, aber wenn ich dort ableite erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{x}}{2x} \end{eqnarray*}$

So? Was ist denn die Ableitung von (1-x²) ?

Und bei Aufgabe kannst du ja mal x gegen unendlich laufen lassen. Vorher noch in (36x²+1) das x² ausklammern und kürzen. smile

14.01.2014, 21:19

helixia

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch
ok, na super da habe ich wohl das negative verloren.
Somit also -1, dann stimmt es ja auch mit dem Graphen.

Bei der vierten habe ich dann 1/108 raus. Hoffe das Ergebniss stimmt.
Habe mich zu lange einzeln auf f und g konzentriert und schon nicht mehr gesehen, dass ich ja mit dem Zähler noch kürzen kann.
Wenn es richtig ist, dann vielen Dank nochmal für die Hilfe "klarsoweit".

15.01.2014, 07:30

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit L'Hospital trigonometrisch
Jetzt bin ich einverstanden. smile

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