Gaußscher Integralsatz

14.01.2014, 14:46	Gala	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußscher Integralsatz Meine Frage: Hallo, ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe: Berechnen Sie die mithilfe des Gaußschen Integralsatzes das Wegintegral $\begin{eqnarray} \int_{\Phi} \! y^2dx+(2xy+x)dy \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ den Rand der Menge $\begin{eqnarray} B=\left\{ (x,y) \in\ \mathbb R^2 : x^2-1 \leq y\leq 0\right\} \cup \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x\geq 0, x-x^3\geq y\geq 0\right\} \end{eqnarray}$ positiv durchlaufe. Meine Ideen: Meine Frage ist, ob ich die Menge B in zwei Mengen $\begin{eqnarray} B_1=\left\{ (x,y) \in\ \mathbb R^2 : x^2-1 \leq y\leq 0\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_2=\left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x\geq 0, x-x^3\geq y\geq 0\right\} \end{eqnarray}$ aufteilen kann, und dann das Integral jeweils über diese beiden Menge bestimme und dann addiere, also: $\begin{eqnarray} \int_{\Phi} \! y^2dx+(2xy+x)dy = \int_B \! div(2xy+x,-y^2) \, d(x,y) <br /> = \int_{B_1} \! div(2xy+x,-y^2) \, d(x,y) + \int_{B_2} \! div(2xy+x,-y^2) \, d(x,y) \end{eqnarray}$ Denn die beiden Mengen B1 und B2 haben ja eigentlich nur die Punkte auf der positiven x-Achse gemeinsam, handelt es sich hierbei dann nicht um eine Nullmenge, die keinen Einfluss auf den Wert des Integrals hat oder verwechsle ich hier etwas? Danke im Voraus!
14.01.2014, 15:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir schreiben das Integral $\begin{eqnarray} \int y^2dx+(2xy+x)dy \end{eqnarray}$ in vektorieller Form mt Hilfe des Skalarproduktes als $\begin{eqnarray} \int \underbrace{\begin{pmatrix} y^2 \\ 2xy+x \end{pmatrix}}_{\text{Vektorfeld }\vec F}\cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Vektorfeld im Integranden $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ zerlegen wir in 2 Summanden: $\begin{eqnarray} \vec F=\begin{pmatrix} y^2 \\ 2xy+x \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} y^2 \\ 2xy \end{pmatrix}}_{\nabla (xy^2)}+\begin{pmatrix} 0 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Der erste Summand ist ein Potenzialfeld, welches sich also als Gradient darstellen lässt. Bekanntlich verschwinden geschlossene Wegintegrale für solche Felder, so dass wir nur das Wegintegral über den zweiten Summanden berechnen müssen $\begin{eqnarray} \int \begin{pmatrix} 0 \\ x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} =\int x\,dy \end{eqnarray}$ Das verbleibende Vektorfeld (0\|x) zeigt stets in y-Richtung (also nach "unten"). Folglich verschwindet dieses Wegintegral aus Symmetriegründen entlang der Parabel y=x²-1, welche den unteren Teil des Gebietes begrenzt. Weiterhin verschwindet dieses Wegintegral entlang der x-Achse, welche ebenfalls ein Teil des Gebietes begrenzt, denn das Feld (1\|x) steht senkrecht auf der x-Achse. Zu berechnen bleibt nur das Wegintegral entlang des restlichen Weges, also entlang der "oberen" Begrenzungskurve y=x-x³=-x(x-1)(x+1) zwischen den Nullstellen 0 und 1. Dieses Wegintegral kann man mit dem Gaußschen Satz (besser mit dem Stokeschen satz) in ein Flächenintegral umwandeln und lösen. Es wäre aber viel einfacher, direkt dieses Wegintegral zu berechnen
14.01.2014, 21:52	Gala	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine ausführliche Antwort. Allerdings hätte ich zu manchen Stellen noch ein paar Fragen: -Wieso genau verschwindet der Gradient (y^2,2xy), bzw. woran erkennt man, dass es sich um ein geschlossenes Wegintegral handelt? -Wie ist das mit dem "Verschwinden" des Wegintegrales von (0 x) gemeint? Also ich leider nicht, warum es gerade für die x-Achse bzw. für die untere Parabel verschwindet. Danke im Voraus.
15.01.2014, 09:35	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage: Wieso verschwindet (y²\|2xy)? Antwort: (y²\|2xy) verschwindet nicht! Es gibt aber einen allgemeinen Satz, der besagt, dass Integrale $\begin{eqnarray} \oint \vec F \,d\vec x=0 \end{eqnarray}$ über geschlossene Kurven verschwinden, wenn sich der Integrand als Gradient $\begin{eqnarray} \vec F=\nabla U \end{eqnarray}$ darstellen lässt. Genau das ist hier der Fall, denn für das Vektorfeld (y²\|2xy) existiert eine skalare Funktion U=xy², so dass $\begin{eqnarray} (y²\|2xy)=\nabla(xy²) \end{eqnarray}$ . -------------------------------------------------------------------------------- Frage: Wieso handelt es sich um einen geschlossenen Weg? Antwort In der Aufgabe ist vom "Rand" einer Menge die Rede, also vom Rand einer endliche Fläche. Folglich ist dieser Rand eine geschlossene Kurve wie der Zaun um einen begrenzten Garten. --------------------------------------------------------------------------------- Frage: Was ist mit dem Verschwinden des Wegintegrals von (0\|x) gemeint? Antwort: Wenn man das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F=(0\|x) \end{eqnarray}$ als Kraftfeld interpretiert, so kann man das Wegintegral $\begin{eqnarray} W=\int \vec F\,\,d\vec x \end{eqnarray}$ als die mechanische Arbeit entlang des Weges auffassen. Die Kraft $\begin{eqnarray} \vec F=(0\|x) \end{eqnarray}$ steht offenbar senkrecht auf der x-Achse (also senkrecht auf diesem Teil des Weges). Folglich wird dort keine Arbeit verrichtet wird. Entlang der Parabel y=x²-1 wird im Intervall x=[-1;+1] ebenfalls keine Arbeit verrichtet, denn aufgrund der Symmetrie der Parabel verrichtet man auf der rechten Parabelhäfte x>0 Arbeit und bekommt diese Arbeit auf der linken Häfte x<0 wieder zurück (zuerst "Gegenwind", danach "Rückenwind") -------------------------------------------------------------------------------- Deine Fragen zeigen, dass du dich noch grundsätzlich mit Weg- und Flächenintegralen beschäftigen solltest. Erst danach kann man den Gaußschen Satz verstehen.
15.01.2014, 14:49	Gala	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt, ich muss mir noch einiges erarbeiten. Zumindest ist mir diese Aufgabe fürs erste etwas klarer geworden. Danke für die Hilfe.

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