nichtlineare Differentialgleichung

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Stevö Auf diesen Beitrag antworten »
nichtlineare Differentialgleichung
Hi,

hat zufällig jemand eine Idee, wie die DGL lösbar ist?:



Mathematica findet eine Lösung, ich will, wie gesagt, einen Lösungsweg

lg Stefan
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In klassischer Schreibweise lautet die Differentialgleichung



In der Form sieht man, daß nicht sein kann, denn die linke Seite der Gleichung ist es nie. Als stetige Funktion ist also stets positiv oder stets negativ. Mit jeder Lösung der Differentialgleichung ist aber auch eine Lösung, wie man durch Einsetzen sofort bestätigt. Es genügt daher, den Fall zu betrachten.

Dividiert man die Gleichung durch , so bekommt man



Wenn man die linke Seite differenziert, ergibt sich



Es gibt daher eine Konstante mit



Und damit hat man eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Unter ihren Lösungen sind auch die Lösungen der gegebenen Differentialgleichung. Durch die Probe kann man die "falschen Lösungen" aussondern.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich die Dgl. ansieht, kann man ohne Rechnung ablesen, dass folgende hyperbolischen Funktion die Lösungen ist.



Begründung:
Wir kennen die hyperbolischen Funktionen




Beide hängen durch folgende Formel zusammen (die man leicht nachrechnen kann):



Die 1. und 2.Ableitungen der hyperbolischen Funktionen lauten bekanntlich







Mit diesen Formeln kann man leicht bestätigen, dass die Lösung der obigen Dgl. ist. Einsetzen liefert

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Neben dieser Lösung gibt es aber noch unendlich viele weitere.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Es gibt daher eine Konstante mit



Und damit hat man eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Unter ihren Lösungen sind auch die Lösungen der gegebenen Differentialgleichung. Durch die Probe kann man die "falschen Lösungen" aussondern.

Alternativ zum "Aussieben per Probe" kann man (*) auch in die Original-DGL einsetzen und hat dann mit



eine DGL erster Ordnung, die dann (neben ) eine zweite Konstante für die allgemeine Lösung beisteuert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser Lösungsvariante hat man ab der Stelle



jedoch den Ärger mit den Vorzeichen der Wurzel. Welches Vorzeichen ist wo richtig? Darf man die Vorzeichen links und rechts einer Stelle , wo ist (wenn es eine solche Stelle überhaupt gibt), frei kombinieren? Wie müßte man argumentieren, wenn man sichergehen will, keine falschen Lösungen zu generieren und keine richtigen zu verlieren? Der übliche Kalkül mit dem Trennen der Variablen ist ja in dieser Hinsicht durchaus fragwürdig. Er ist nicht gerade für implizite Differentialgleichungen erster Ordnung gemacht.

war übrigens auch mein erster Ansatz. Mit dem Weg über die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung versuche ich gerade, die Mehrdeutigkeiten zu umgehen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat auch immer was zu meckern, der Kerl - allerdings nicht völlig grundlos. Big Laugh

Zumindest sieht man auf diesem Weg besser die "schöne" Lösungsdarstellung
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt irgendwie. Aber wenn man von dieser "schönen" Darstellung gehört hat, kann man auch so vorgehen:

Bekanntermaßen ist der Lösungsraum von zweidimensional. Die Funktionen und sind linear unabhängige Lösungen und damit eine Basis. Mit zwei Parametern erhält man sämtliche Lösungen als Linearkombinationen dieser beiden Funktionen, also



Einige Umformungen, die auf geführt hatten, waren nur Implikationen. Man muß daher an der ursprünglichen Differentialgleichung



die Probe machen. Setzt man von oben ein, so bekommt man



Man kann hiermit eliminieren und erhält



Bei Lösungen mit muß sein. Es gibt daher ein mit . Damit folgt:



Und für die Lösungen mit muß man nur das Vorzeichen ändern. Sämtliche Lösungen sind daher die Funktionen



Eine Vorzeichenänderung von bewirkt eine Spiegelung an der -Achse. Man beachte, daß der cosinus hyperbolicus eine gerade Funktion ist, so daß sich die Vorzeichenänderung nur im Vorfaktor auswirkt. Man kann die Lösungen daher auch so beschreiben:



Der Übergang von zu entspricht beim Graphen einer zentrischen Streckung vom Ursprung aus, bei negativem mit zusätzlicher Spiegelung an der -Achse. Und der Übergang von zu bewirkt eine Verschiebung des Graphen um in -Richtung. Alle Graphen sind daher untereinander ähnlich im Sinne der Abbildungsgeometrie. Die Invarianz bezüglich dieser Abbildungen kann man schon der Differentialgleichung entnehmen. Ist nämlich eine Lösung:



und setzt man



mit den Ableitungen



so sieht man mittels



daß auch eine Lösung ist. Wenn man also wie Ehos den cosinus hyperbolicus als "offensichtliche" Lösung abliest, ist klar, daß auch sämtliche anderen von uns gefundenen Funktionen Lösungen sind. Wenn man jetzt noch begründen könnte, warum es keine weiteren Lösungen geben kann, hätte man einen sehr einfachen Zugang zu den Lösungen der Differentialgleichung.
Stevö Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, sehr schön

Jetzt hätt ich eine Frage an Leopold
weil du in deinem ersten Beitrag geschrieben hast,
dass an keiner Stelle ist. Was wäre wenn an einer Nullstelle von der Grenzwert von
geht für . Warum geht das nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Frage nicht. kann keine Nullstelle haben. Wäre Nullstelle von , so gälte laut Differentialgleichung:



Dabei soll doch herauskommen. Widerspruch!
Stevö Auf diesen Beitrag antworten »

okay, weil du das alles recht stichhaltig geschrieben hast:
Mir tun sich dann öfters mal so Fragen auf, wie zb folgende

was wäre, wenn
Dann wäre jetzt nicht klar, was ist. Wenn dann in stetig fortsetzbar ist und der Wert eben größer als 1 ist, hmm dann wäre das eine nicht -Lösung. Wenn sowas geht ...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du so etwas wie mit der Differentialgleichung



und der Stelle ?
Stevö Auf diesen Beitrag antworten »

ja, sowas

und



Ich wüsste jetzt keinen Grund, warum soetwas nicht möglich sein sollte. Vielleicht sollte man den Fall einfach ausschließen.
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