Kommutativität des Skalarprodukts

14.01.2014, 19:34

LemanRuss

Kommutativität des Skalarprodukts

Hi,

folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V = K^{n} \end{eqnarray*}$ der Standardvektorraum über einem Körper K. Zeigen Sie:

1. Für alle $\begin{eqnarray*} v, w \in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v * w = w * v \end{eqnarray*}$ , insbesondere also v orthogonal zu w <=> w orthogonal zu v.

Wobei das Skalarprodukt so definiert ist: $\begin{eqnarray*} V \times V -> K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x_{1},...,x_{n}) * (y_{1},...,y_{n}) = \sum\limits_{i=1}^n x_{i}y_{i} \end{eqnarray*}$ .

Lösung:

$\begin{eqnarray*} v * w = \sum\limits_{i=1}^n x_{i}y_{i} = x_{1} y_{1}+...+ x_{n} y_{n} = y_{1}x_{1}+...+y_{n}x_{n} = \sum\limits_{i=1}^n y_{i}x_{i} = w * v \end{eqnarray*}$ .

Ich habe gelesen, dass im Komplexen das Skalarprodukt NICHT kommutativ ist und da die Aufgabe Körper i.A. zulässt darf ich doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} x_{i}y_{i} = y_{i} x_{i} \end{eqnarray*}$ benutzen oder? Leider würde mir auch kein anderer Lösungsweg einfallen.

14.01.2014, 20:16

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Ich habe gelesen, dass im Komplexen das Skalarprodukt NICHT kommutativ ist und da die Aufgabe Körper i.A. zulässt darf ich doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} x_{i}y_{i} = y_{i} x_{i} \end{eqnarray*}$ benutzen oder?

Da hast du was aus dem Kontext gerissen.
Das Skalarprodukt in diesem Sinne(für beliebige Körper) ist kommutativ.

Häufiger meint man mit Skalarprodukt ein Skalarprodukt für reelle oder komplexe vektorräume, das hat leicht andere Eigenschaften.

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