Borel-Cantelli

14.01.2014, 19:55

mathda

Borel-Cantelli

Hier das Problem:

Gegeben ist eine Folge von nicht unbedingt unabhängigen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ bei der für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P\left\{|X_{n}|>\epsilon\right\}<\infty \end{eqnarray*}$

beweise, dass $\begin{eqnarray*} X_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ fast sicher gegen Null konvergiert.

Idee:

Da ich keine Ahnung habe wie ich das mit Borel-Cantelli zeigen kann, möchte ich euch fragen ob diese Lösung korrekt ist, falls nicht bitte ich um Berichtigung.

Ich versuche durch widerspruch zu zeigen das es nicht geht.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P \left\{| X_{n}| > \epsilon \right\} <\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } P\left\{ |X_{n}| > \epsilon \right\} = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } P\left\{ |X_{n} -0 |>\epsilon \right\} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } P\left\{ w|X_{n}(w) -0 |>\epsilon \right\} =0 \end{eqnarray*}$

Annahme
$\begin{eqnarray*} P\left\{ w|X_{n}(w) |>\epsilon \right\} \end{eqnarray*}$
für endlich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ das größte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall m > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left\{ w| X_{n_{0}+m(w)}| > \epsilon \right\} >0 \end{eqnarray*}$

15.01.2014, 15:15

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Borel-Cantelli
Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P \left\{| X_{n}| > \epsilon \right\} <\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } P\left\{ |X_{n}| > \epsilon \right\} = \infty \end{eqnarray*}$

Das stimmt mMn schon nicht. Wie kann ein Summand einer Summe aus nur positiven Summanden endlich sein, wenn einer der Summanden schon Unendlich ist?

Versuch es doch mal so:

Sei $\begin{eqnarray*} A_n=\left\{|X_n|>\epsilon\right\} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt nach Vorr: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P(A_n)< \infty \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du Borel-Cantelli andwenden.

MfG

Edit: Ich sehe gerade, du hast dich hier wohl nur verschrieben.

Zitat:

Aber genau diese Folgerung sollst du doch zeigen.

15.01.2014, 19:28

mathda

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

erst einmal vielen Dank für deine Rückmeldung.

wie stelle ich den Zusammenhang von Xn und An her?

Zitat:

Dann gilt nach Vorr: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P(A_n)< \infty \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du Borel-Cantelli andwenden.

Kann ich jetzt behaupten:

Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ereignis $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \ge n \end{eqnarray*}$ eintritt, ist nicht größer als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^\infty P(A_k) \end{eqnarray*}$ und strebt wegen der vorausgesetzten Konvergenz der Summe gegen 0 für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ . Der limes superior der $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ist das Ereignis, dass unendlich viele $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ eintreten, und ist ein Teilereignis von jedem der im vorigen Satz erwähnten Ereignisse, und seine Wahrscheinlichkeit ist somit nicht größer als sämtliche Glieder einer Nullfolge, also 0, was zu beweisen war.

aus wikipedie [wiki/Borel-Cantelli-Lemma]

15.01.2014, 19:44

mathda

Auf diesen Beitrag antworten »

oder:

Sei $\begin{eqnarray*} A_n=\left\{|X_n|>\epsilon\right\} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt : $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P(A_n)< \infty \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} A_n:=lim sup_{n} A_{n}/latex]. dann [latex]P(A) \leq P(\cup_{n}\geq n_{o}A_{n})\leq \sum\limits_{n\geq n_{0}} P(A_{n} \to n_{0}0 \Rightarrow \sum\limits_{n} P(A_{n}) <\infty \Rightarrow P(A)=0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

15.01.2014, 19:59

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

Selbst aus dem Teil, der nicht angezeigt wird, werde ich nicht schlau.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} A_n=\left\{|X_n|>\epsilon\right\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt nach Vorr: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P(A_n)< \infty \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt nach Borell-Cantelli, mit $\begin{eqnarray*} A:=\operatorname {limsup_{n\to \infty}}A_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A)=0 \end{eqnarray*}$

In Worten bedeuted das:

Die Ws, dass $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ für unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eintritt, ist Null.

Da $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig klein gewählt werden kann, folgt also: $\begin{eqnarray*} X_n\to 0 \end{eqnarray*}$

MfG

15.01.2014, 20:10

mathda

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich habe keine Ahnung warum es nicht angezeigt wird. Ich habe versucht den Satz von Borelli zu beweisen (Teil 1), damit der Teil

Zitat:

beweise, dass $\begin{eqnarray*} X_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ fast sicher gegen Null konvergiert.

gilt/gezeigt ist.

Schau, so war der Versuch.

Sei $\begin{eqnarray*} A_n=\left\{|X_n|>\epsilon\right\} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt : $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P(A_n)< \infty \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} P(A) \leq P(\cup_{n}\geq n_{o}A_{n})\leq \sum\limits_{n\geq n_{0}} P(A_{n} \to n_{0}0 \Rightarrow \sum\limits_{n} P(A_{n}) <\infty \Rightarrow P(A)=0 \end{eqnarray*}$

15.01.2014, 20:18

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich habe versucht den Satz von Borelli zu beweisen

Du willst Borel-Cantelli beweisen?

Nochmals zur eigentlichen Aufgabe:

Zitat:

Gegeben ist eine Folge von nicht unbedingt unabhängigen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ bei der für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P\left\{|X_{n}|>\epsilon\right\}<\infty \end{eqnarray*}$ .

Beweise, dass $\begin{eqnarray*} X_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ fast sicher gegen Null konvergiert.

Dazu sollst du den Satz von Borel-Cantelli verwenden. (Stimmt das so weit?)

Bei deinem Versuch fehlen Klammern, was ist A (ich vermute der limsup), die letzte Folgerung ist gerade der Satz von Borel-Cantelli.

15.01.2014, 20:44

mathda

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
die Aufgabe lautet ...Beweise, dass $\begin{eqnarray*} X_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ fast sicher gegen Null konvergiert.

wie ist nicht angegeben. Und ich dachte, wenn ich versuche den Satz von Satz von Borel-Cantelli zu beweise, dann ist die Aufgabe tatsächlich gelöst...

Ja A ist $\begin{eqnarray*} A:=\operatorname {limsup_{n}A_n \end{eqnarray*}$

ist das die Korrektere Schreibweise:
$\begin{eqnarray*} A:=\operatorname {limsup_{n\to \infty}}A_n \end{eqnarray*}$ (also mit $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$

Die Klammern habe ich aufm Blatt so gesetzt:

$\begin{eqnarray*} P(A) \leq P(\cup_{n}\geq n_{o}A_{n})\leq \sum\limits_{n\geq n_{0}} P(A_{n} \to n_{0}0) \Rightarrow \sum\limits_{n} P(A_{n}) <\infty \Rightarrow P(A)=0 \end{eqnarray*}$

Danke dir vielmals für deine Geduld! Gott

15.01.2014, 20:56

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(A) \leq P(\cup_{n}\geq n_{o}A_{n})\leq \sum\limits_{n\geq n_{0}} P(A_{n} \to n_{0}0) \Rightarrow \sum\limits_{n} P(A_{n}) <\infty \Rightarrow P(A)=0 \end{eqnarray*}$

Ich werden auch hieraus nicht schlau.

Der Beweis für Borel-Cantelli geht folgendermaßen:
(Hast du den nicht in der Vorlesung gemacht?)

Sei $\begin{eqnarray*} A:=\operatorname {limsup_{n\to \infty}}A_n \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} A\subset \bigcup_{m=n}^\infty A_m \, \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(A)\leq P(\bigcup_{m=n}^\infty A_m)\leq \sum_{m=n}^\infty P(A_m)\to 0\, \text {für}\, {n\to \infty} \end{eqnarray*}$

Die erste Ungleichung gilt aufgrund der Isotonie von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , die zweite ist ein "=" falls die $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ unaghängig sind.

MfG

15.01.2014, 21:12

mathda

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dir sehr :-)

Nein, der Beweis kommt die Tage noch :-) Aber danke dir!

aber sag... würde das hier genügen um die Aufgabe zu lösen?

Zitat:

Zitat:
Sei $\begin{eqnarray*} A_n=\left\{|X_n|>\epsilon\right\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt nach Vorr: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P(A_n)< \infty \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt nach Borell-Cantelli, mit $\begin{eqnarray*} A:=\operatorname {limsup_{n\to \infty}}A_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A)=0 \end{eqnarray*}$

einfach so? Ohne zusätzlich Borel-Cantellis Satz erneut zu beweisen? Kann ich einfach sagen dann gilt nach Satzx und ende?

Danke dir...

15.01.2014, 21:14

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gilt nach Borell-Cantelli, mit $\begin{eqnarray*} A:=\operatorname {limsup_{n\to \infty}}A_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A)=0 \end{eqnarray*}$

Das musst du noch interpretieren:

Zitat:

In Worten bedeuted das: Die Ws, dass $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ für unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eintritt, ist Null. Da $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig klein gewählt werden kann, folgt also: $\begin{eqnarray*} X_n\to 0 \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt off, falls du noch Fragen hast bin ich morgen wieder da.

MfG

15.01.2014, 21:27

mathda

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dir! Du hast mir sehr geholfen.

Neue Frage »

Antworten »

Borel-Cantelli

Verwandte Themen