Taylorpolynome, Lagrangesche Restglieddarstellung

Neue Frage »

14.01.2014, 23:23	Matze95	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynome, Lagrangesche Restglieddarstellung Guten Abend liebe Community, Wir haben in der letzten Vorlesung das Taylorpolynom und die Lagrangesche Restglieddarstellung durchgenommen. Ich habe allerdings Probleme mit den Übungsaufgaben und hatte gehofft, dass ihr mir ein wenig helfen könntet Gegeben sei f : (-2; $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ )-->R mit f (x) = $\begin{eqnarray} \sqrt{x+2} \end{eqnarray}$ . a.) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades im Entwicklungspunkt x0 =-1. b.) Geben Sie die Lagrangesche Restglieddarstellung von R2(x) an. c.) Geben Sie mit Hilfe des Taylorpolynoms aus a.) einen Näherungswert für f (0) an. zu a) $\begin{eqnarray} \sqrt{x+2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^2 \frac{\sqrt{x+2} ^{k} (x)}{k!} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} (x+1)^{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{x+2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{3}{8} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{x^{2} }{8} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{3x}{4} \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig? zu b) Allgemein gilt ja: $\begin{eqnarray} R_{2}(x) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{f^{(3)}(\gamma )}{3!} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} (x+1)^{3} \end{eqnarray}$ Auf die Aufgabe angewandt: $\begin{eqnarray} R_{2}(x) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{3}{8(\gamma +2)^{2,5}3! }(x^{3}+3x^{2}+3x+1) \end{eqnarray}$ Nun weiß ich leider nicht, wie ich weiter machen soll zu c) Da muss ich ja nur 0 einsetzen in die Gleichung aus a). Ich Komme damit auf einen Wert von $\begin{eqnarray} \frac{3}{8} \end{eqnarray}$ . Kann das sein? $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ergibt ja eigentlich einen Wert von ca. 1,41. Wäre für jede Hilfe dankbar. MfG Matze
14.01.2014, 23:37	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zu a.) Die Bezeichnung die du wählst kann man so nicht nutzen. Benuzte $\begin{eqnarray} f(x) \approx \sum\limits_{k=0}^2 \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x+1)^{k} \end{eqnarray}$ ; denn du kannst nicht $\begin{eqnarray} \sqrt{x+2} \end{eqnarray}$ Ableiten und es dann sozusagen als Funktion benutzen (d.h. nicht einfach ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Argument anhängen). Es ist dann $\begin{eqnarray} f(x) \approx \sum\limits_{k=0}^2 \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x+1)^{k} \end{eqnarray}$ . Achte darauf, dass $\begin{eqnarray} f^k(x_0) \end{eqnarray}$ in der Summe steht (schau dir nocheinmal die Definition an!). zu b.) In welchem Intervall muss denn das $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ nach der Definition liegen? Danach müssen wir eine Schranke finden.
15.01.2014, 15:57	Matze95	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die Anmerkungen. Also ich habe leider nur die Informationen aus der Aufgabenstellung. Wahrscheinlich soll das dann nur allgemein angegeben werden?!? Bei anderen Aufgaben ist das genauso. Oder war das eine direkte Frage an mich? Falls ja, würde ich sagen zwischen -2 und $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Und wie geht es jetzt weiter?
15.01.2014, 18:16	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
rechne erst nochmal nach, bis du auf $\begin{eqnarray} T_2(x,-1)=-\tfrac 18 x^2 +\tfrac 14 x+\tfrac {11}{8} \end{eqnarray}$
15.01.2014, 19:20	Matze95	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe nun auch die Gleichung raus. Hatte sich wohl ein Vorzeichenfehler bei mir eingeschlichen
15.01.2014, 19:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
fein , und warum machst du dann nicht gleich weiter ?
Anzeige

15.01.2014, 19:39	Matze95	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gut. Ich setze -1 ein und erhalte wie zu erwarten den Wert 1. Damit wäre Aufgabenteil a) gelöst. Zu c) : Ich setze x=0 in meine Gleichung ein und erhalte 11/8. Dieser Wert liegt relativ nah an $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Das ist schön! Bei b) weiß ich wie gesagt nicht, wie ich weiter vorgehen muss. Um auf die Frage von "bijektion" zurückzukommen, würde ich sagen, dass das Intervall (-2, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ) ist. Sicher bin ich mir aber nicht!
15.01.2014, 19:52	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
schreib doch das Restglied $\begin{eqnarray} R_2(x,-1) =... \end{eqnarray}$ erstmal hin.
15.01.2014, 20:04	Matze95	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. $\begin{eqnarray} R_{2} \end{eqnarray}$ (x,-1) = $\begin{eqnarray} \frac{0,375(\gamma +2)^{-2,5} }{3!}(x+1)^{3} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} R_{2} \end{eqnarray}$ (x,-1) = $\begin{eqnarray} \frac{1}{16(\gamma +2)^{2,5} }(x^{3}+3x^{2}+3x+1) \end{eqnarray*}$ Ist das soweit richtig?
15.01.2014, 20:20	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nun gut ich komme auf $\begin{eqnarray} R_{2} (x,-1) = \left \|\frac{1}{32(\gamma +2)^{2,5} }(x+1)^3 \right \| \quad \land \gamma \end{eqnarray*}$ zwischen x und -1 und das war es dann.
15.01.2014, 20:31	Matze95	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komme für die dritte Ableitung auf $\begin{eqnarray} f^{(3)} (x) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{3}{8(x+1)^{2,5} } \end{eqnarray}$ . Das teile ich durch 3! bzw. 6 und komm dann auf die 16 im Nenner, wenn ich die Zahlen kürze. Aber das war es dann wirklich schon?? Ich dachte ich müsste da jetzt noch irgendwie weiterrechnen... Danke für die Hilfe! Eine Frage habe ich allerdings noch: Kann ich jetzt für x alle Wert zwischen -2 und $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ einsetzen, bzw. ist $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray*}$ dann immer die Differenz von x und -1?
15.01.2014, 21:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
da habe ich mich auch mal vertippt. Das Intervall $\begin{eqnarray} [-2,\infty] \end{eqnarray}$ ist die Definitionsmenge das hat aber nichts mit einem sinnvollen Intervall wie z. B. [-1.5, 0] zu tun. und das $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ liegt unbekannt zwischen x und -1
15.01.2014, 21:25	Matze95	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank nochmal
15.01.2014, 22:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
gern geschehen ! bis zum nächsten Taylor

Neue Frage »

Antworten »

Taylorpolynome, Lagrangesche Restglieddarstellung

Verwandte Themen