Aufgabe zu Dichtefunktionen

15.01.2014, 07:31	stochmath	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Dichtefunktionen Meine Frage: Hi zusammen, nehmen Sie an, dass X normalverteilt ist mit Standardabweichung (alpha) null. Weiter gilt Y= \|X\|. Zeigen Sie, dass für die Dichte von Y folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{\pi }\alpha } * e^{-\frac{y^2}{2\alpha^2} } \end{eqnarray}$ Hinweis: Ist X Normal-verteilt mit Erwartung 0 und Standardabweichung so gilt: P(-X <=c) = P(X >= -c) = P(X <= c) fur c in R. Meine Ideen:* Kann mir hier jemand mit einem etwas beschreibenden Lösungsansatz dienen? Ich kann vor allem das Y= \|X\| und die abschliessenden Bedingungen sehr schlecht einordnen. Wie geht man hier vor? Grüsse
15.01.2014, 11:36	stochmath	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich mit E(x)= 0 und Standardabweichung = (alpha) Grüsse
15.01.2014, 11:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter Zuhilfenahme der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_X(x) = \Phi\left( \frac{x}{\alpha} \right) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ kannst du für die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_Y \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ folgendes ableiten: Für $\begin{eqnarray} y\geq 0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(\|X\|\leq y) = P(-y \leq X\leq y) = F_X(y)-F_X(-y) = \Phi\left( \frac{y}{\alpha} \right) - \Phi\left( -\frac{y}{\alpha} \right) \end{eqnarray}$ . Nun nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ableiten ergibt die Dichte, dabei kann man $\begin{eqnarray} \varphi(x) = \Phi'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray}$ als Dichte der Standardnormalverteilung nutzen.
15.01.2014, 21:01	stochmath	Auf diesen Beitrag antworten »
Genial! Geht mir sogar auf. Einzige kleine Nachfrage, die ich habe: Im Resultat steht ja im Zähler Wurzel 2. Das kommt doch davon, dass man 2x die Dichtefunktion hat, oder? Das heisst, das -(y/a) macht den zweiten Term positiv, so dass eine Addition zweier gleicher Terme vorliegt. Grüsse
15.01.2014, 21:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ungefähr. Nach dem Ableiten (unter Beachtung der Kettenregel) ist ja dann $\begin{eqnarray} f_Y(y) = \frac{1}{a}\varphi\left( \frac{y}{\alpha} \right) + \frac{1}{a} \varphi\left( -\frac{y}{\alpha} \right) \end{eqnarray}$ , und diese beiden Summanden sind wegen der Symmetrie von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ in der Tat gleich.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »