Verständnis- und Anwendungsproblem des Mittelwertsatzes der Integralrechnung |
| 15.01.2014, 12:02 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verständnis- und Anwendungsproblem des Mittelwertsatzes der Integralrechnung
Ich hab jetzt schon auf ziemlich vielen Internetseiten nach einer Erklärung gesucht, habe jedoch immernoch nicht verstanden was der Mittelwertsatzes der Integralrechnung eigentlich Aussagt. Soweit ich das jetzt rausgefunden habe besagt er, dass es eine Fläche unter dem Graphen gibt die genau einer anderen Fläche von a bis b (Integrationsgrenzen) entspricht 
.Die Anwendung ist mir noch schleierhafter. Wie wende ich den Mittelwertsatzes der Integralrechnung auf z.B. von an und was sollte mir das Ergebnis sagen? |
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| 15.01.2014, 16:50 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Verständnis- und Anwendungsproblem des Mittelwertsatzes der Integralrechnung Anschaulich: Man nehme die Flächenmaßzahl unter dem Graphen einer (hier nur positiven) Funktion im Intervall [a;b]. Dann gibt es einen Wert x0 zwischen a und b, für den gilt, dass der Funktionswert an der Stelle x0 multipliziert mit der Intervallbreite gleich dieser Flächenmaßzahl ist, also Sprich: Die Fläche des Rechtecks und die Fläche unter dem Graphen zwischen a und b sind gleich (in meiner Graphik mit etwas Phantasie). Damit kannst Du nun erstmal für den Integralwert im angegeben Intervall bestimmen und danach einen Wert x0, für den obige Gleichung erfüllt ist. |
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| 20.01.2014, 10:44 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Nachfrage Leider kann ich mich erst jetzt melden:
Das verstehe ich noch nicht. Wieso sind die gleich? Man kann doch keinen beliebigen x0-Wert nehmen oder? |
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| 20.01.2014, 13:54 | Mathewolf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, es ist ein bestimmter Wert, für dem diese Gleichung gilt, kein beliebiger. Der Mittelwertsatz sagt nur aus, dass es in jedem Integrationsintervall ein x_0 gibt, für den diese Aussage gilt. |
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| 20.01.2014, 14:30 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke jetzt versteh ich das langsam. Dieser Wert x_0 ist praktisch der Mittelwert einer stetigen Funktion. Als würde man seinen Notendurchschnitt oder so berechnen. Also der Wert der genau in der Mitte zwischen allen werten liegt. |
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| 20.01.2014, 20:46 | Mathewolf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, noch nicht so ganz. Schau dir noch mal die Grafik an, die Klaus hier reingestellt hat. |
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| 21.01.2014, 09:00 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehs einfach nich; tut mir leid 
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| 21.01.2014, 09:18 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht kannst du dir dies besser so vorstellen: f(x0) ist ein über die Fläche gemittelter Wert von f(a) und f(b), also der Mittelwert der Funktion in den Grenzen a und b. mY+ |
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| 21.01.2014, 10:01 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn das der Mittelwert der Funktion ist warum wird dann ein Integral berechnet? Es handelt sich doch um den Mittelwert der Funktion, also des Graphen, und nicht um den Mittelwert der Fläche oder? |
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| 21.01.2014, 11:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, es handelt sich um einen Mittelwert des Funktionswertes, soweit es die Fläche und die Länge des Intervalls betrifft. Das heisst, die Fläche im Intervall unter der Kurve ist gleich der Länge des Intervalls multipliziert eben mit diesem mittleren Funktionswert. Mit anderen Worten, anstatt die Fläche längs der Kurve zu umfahren, kann dieselbe auch waagrecht mit einem konstanten Abstand von der x-Achse erzeugt werden. Dieser Abstand ist der gegenständliche Mittelwert. Und für den Wert der Fläche ist nun mal ein bestimmtes Integral zu berechnen. mY+ |
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| 22.01.2014, 10:59 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achsooo. Ich denke jetzt hab ich das verstanden 
danke |
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