abelsche Gruppe minimale Erzeugendensysteme

15.01.2014, 12:28	Seker	Auf diesen Beitrag antworten »
abelsche Gruppe minimale Erzeugendensysteme Hallo, wenn ich eine abelsche Gruppe Z6 habe, dann besitzt diese ja die minimale Erzeugendensysteme mit Mächtigkeit 1 und 2. Ich bin jetzt auf der Suche nach solch einem Z-Modul der ein minimales Erzeugendensystem mit der Mächtigkeit 3 hat Ist diese abelsche Gruppe Z6 das gleiche wie ein Restklassenring? Wohl eher nicht oder? Weil zum Beispiel das minimale Erzeugendensystem (2,3) von Z6 erkläre ich mir so: 0=3+3 1=3+2+2 2=2 4=2+2 5=2+3 und dann muss halt noch die Minimalität gezeigt werden.... Bei einem Restklassenring geht man ja mit Division vor... Ist das der Unterscheid?
15.01.2014, 18:32	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe minimale Erzeugendensysteme Der $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Modul $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/ 6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/ 3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist (in gewisser Weise) nichts anderes als die abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/ 6\mathbb{Z}, +) \end{eqnarray}$ . (Formal bedeutet das, dass es eine exakte Äquivalenz von Kategorien $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Mod $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ AbGrp gibt, und sich die beiden Objekte unter dieser Äquivalenz entsprechen) D.h. du musst zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray} \left\{ 2,3 \right\} \end{eqnarray}$ die abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/ 6\mathbb{Z}, +) \end{eqnarray}$ erzeugt. Es ist aber ein wohlbekannter Fakt, dass $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/ 6\mathbb{Z}, +) \end{eqnarray}$ zyklisch ist, deswegen genügt dafür schon zu sehen, dass 3-2=1. Was du gemacht hast, reicht natürlich auch, ist aber einiges aufwendiger. Vor allem, wenn du mal mehr als nur 6 Elemente hast. Was du mit "beim Restklassenring geht man mit Division vor" meinst, weiß ich leider nicht. Vermutlich meinst du, dass es im Restklassenring auch eine multiplikative Komponente hast. Beachte, dass im Fall eines zyklischen Z-Moduls Erzeugendensysteme als Modul genau Erzeugendensysteme als Ring sind (da Multiplikation mit einem Element aus dem Ring Z als Multiplikation mit einem Element aus Z/6 aufgefasst werden kann). Ein Beispiel für einen Z-Modul, der sowohl ein minimales EZS mit einem als auch ein minimales EZS mit 2 bzw. 3 Elementen hat ist etwa $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/ 30\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/ 3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ 5\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Analog kann man beliebig viele weitere solcher Beispiel konstruieren. Wie genau die minimalen EZS oben aussehen überlasse ich aber dir. lg kai
16.01.2014, 00:00	Seker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm also man kann doch ganz viele minimale Erzeugendensysteme finden oder? ein einstelliges wäre { 1} , ein zweistelliges { 2,3} oder { 4,5} , ein dreistelliges {6,10,15} usw.... Weil ich kann jeweils die 1 darstellen und sie sind minimal. Stimmt das so?
16.01.2014, 01:00	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es gibt sehr viele davon.
16.01.2014, 10:27	Seker	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind die von mir angegebenen richtig? kann man iwie eine allgemeine Formel aufschreiben um alle minimalen EZS zu finden?
16.01.2014, 12:38	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir angegebenen sind jedenfalls richtig. Wie allgemein sollte so eine "allgemeine Formel" sein? Bzw. präziser: was motiviert so eine 'Formel', bzw. warum sollten wir daran interessiert sein? Zur Veranschaulichung kannst du ja mal für einen Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ den $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Modul $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ betrachten. Da "kennen" wir in einem gewissen Sinne ja alle minimalen EZS, die allgemeine Formel sieht aber recht kompliziert aus (das sollte ja die Leibniz-Formel sein). Man kann sich vorstellen, dass es im Fall von Modulen über beliebigen Ringen deutlich schwieriger wird, alle minimalen EZS zu 'bestimmen'. Falls es aber um zyklische Z-Moduln geht, dann ist das wohl schon deutlich einfacher: (wenn mich meine Intuition gerade nicht täuscht) suchst du in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ minimale Mengen $\begin{eqnarray} \left\{ a_i \right\}_{i \in I} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} ggT(a, \left\{ a_i \right\}_{i \in I}) = 1 \end{eqnarray}$ .
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