Versuchsverlauf mit Drehmatrix drehen

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15.01.2014, 12:36	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchsverlauf mit Drehmatrix drehen Meine Frage: Hi, ich habe Daten aus einem Versuch die ich in einer 160x2 Matrix ablege. Aus diesen Daten lasse ich mir ein Diagramm zeichnen. Kann ich nun dieses Diagramm mit Hilfe einer Drehmatrix um einen bestimmten Winkel drehen? Meine Ideen: Ich habe meine Versuchsdaten für eine Drehung im Uhrzeigersinn einfach mit dieser Matrix multipliziert: cos(-alpha) -sin(-alpha) sin(-alpha) cos(-alpha) Mir kommt aber der gedrehte Verscuhsverlauf ein bisschen komisch vor.
15.01.2014, 13:02	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Beginn hast du deine 160 Messpunkte (x;y) in ein Koordinatensystem eingetragen. Nun drehst du alle Messpunkte entgegen dem Uhrzeigensinn um den Ursprung, wobei sich die Koordinatenachsen nicht mitdrehen. Die neuen Punkte haben dann die Koordinaten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x'_n \\ y'_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei dieser Drehung bleibt die relative Lage aller Punkte natürlich konstant (insbesondere deren Abstände zueinander). Man kann diese Drehung auch umgekehrt so auffassen, dass sich dabei das Koordinatensystem im Uhrzeigersinn dreht und die Punkte konstant bleiben.
15.01.2014, 13:24	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Wenn meine Daten nun in der Form y;x gespeichert sind, funktionierts es dann trotzdem mit der gleichen Formel? Oder muss ich die Drehmatrix dann anders formulieren?
15.01.2014, 13:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du die transponierte Drehmatrix nehmen und erhältst die Transformation $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y'_n \\ x'_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(\phi) & \sin(\phi) \\ -\sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_n \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
15.01.2014, 14:32	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar vielen Dank
15.01.2014, 15:09	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir jetzt mal mit Excel den Versuchsverlauf und den gedrehten Versuchsverlauf zeichnen lassen. Irgendwie kommt mir der Verlauf nicht richtig vor. Ich hab mal ein Bild von meinem Verlauf angehängt. Stimmt der Verlauf so? http://www.matheboard.de/attachmentedit....hmentids=32699#
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15.01.2014, 15:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du bei jedem Wertepaar den gleichen Drehwinkel verwendet?
15.01.2014, 15:33	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
ja habe ich gemacht
15.01.2014, 16:31	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe meine Daten in einer Matrix abgelegt: Y1 X1 Y2 X2 Yn Xn und diese Matrix dann mit: cos(alpha) sin(alpha) -sin(alpha) cos(alpha) multipliziert.
16.01.2014, 09:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um den Fehler zu finden, setze mal den Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi=90° \end{eqnarray}$ . Dann lautet die Drehmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Drehmatrix müsste deine Kurve vom 1.Quadranten in den 4.Quadranten drehen, wobei die Form der Kurve gleich bleibt. Mache das mal mit EXCEL. Ich nehme an, dass der Fehler in der EXCEL-Programmierung liegt.
16.01.2014, 09:25	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann erhalte ich sowas: http://www.matheboard.de/attachmentedit....hmentids=32713#
16.01.2014, 09:50	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist genau das Richtige! So muss es aussehen,wenn man die Messwerte um 90° entgegen dem Uhrzeigersinn dreht
16.01.2014, 09:56	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke. Aber was mache ich dann bei der Drehung im Uhrzeigersinn um einen beliebigen Winkel falsch? Ich habe jetzt gerade bei wikipedia gelesen, dass man für die Drehung im Uhrzeigersinn die Inverse der Drehmatrix braucht. Wie lautet denn die Inverse von: cos(alpha) sin(alpha) -sin(alpha) cos(alpha) ?
16.01.2014, 10:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Drehrichtung änderst du, indem du das Vorzeichen des Winkels änderst. Aus $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ wird also $\begin{eqnarray} -\phi \end{eqnarray}$ . Rein formal kann man auch die inverse Drehmatrix $\begin{eqnarray} D^{-1} \end{eqnarray}$ nehmen, wie du richtig schreibst. Da für Drehmatrizen ganz allgemein gilt $\begin{eqnarray} D^{-1}=D^T \end{eqnarray}$ , kann man also für die Umkehr der Drehrichtung die transponierte Drehmatrix nehmen. Drehe die Kurve zur Probe mal um 45°. Dann lautet die Drehmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\tfrac{1}{\sqrt{2}} & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
16.01.2014, 10:18	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann bekomme ich diesen Verlauf:
16.01.2014, 10:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist exakt die gewünschte Drehung um 45°. Wie gesagt: Die Änderung der Drehrichtung erreichst du durch Vorzeichenwechsel des Drehwinkels. Das ist einfacher als das Transponieren der Drehmatrix. ----------------- Mir ist aber nicht klar, warum deine allgemeine Drehung in dem EXCEL-Programm nicht funktioniert. Hast du eventuell das eine Minuszeichen in der Drehmatrix vergessen? Drehe zur Propbe nochmal um 30°. Dann lautet die Drehmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\sqrt{3} & \tfrac{1}{2} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
16.01.2014, 10:39	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
da bekomm ich diesen Verlauf:
16.01.2014, 10:43	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das ist richtig. Dann suche mal den Fehler im EXCEL-Programm.
16.01.2014, 10:48	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank dann mach ich mich mal auf die Suche
16.01.2014, 11:54	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt mal mein Programm durchforstet. Kann aber keinen Fehler finden. Mein winkel um den ich drehen will kommt aus der Steigung m einer Geraden. alpha=arctan(m) Der Steigungswinkel beträgt im Beispiel ca. 10° Aus diesem berechne ich dann meine Drehmatrix: 0,984724842 0,174117733 -0,174117733 0,984724842 und die multiplizier ich einfach mit meinen Daten(hier mal ein Ausschnitt): -0,120000 0,01 0,159256 0,48 0,273027 0,97 0,376455 1,46 0,495398 1,94 0,635026 2,43 0,733283 2,91 0,872911 3,40 Ich finde auch den Verlauf den ich für die Drehung bekomm zumindest am Anfang noch plausibel. Nur gegen Ende scheint irgenwas nicht zu stimmen.
16.01.2014, 12:43	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir jetzt mal den Verlauf ausgedruckt und das Koordinatensystem per Hand um 10° gedreht. Dabei ist mir aufgefallen, dass die Koordinaten für den letzten Punkt der Drehung und des Versuchs sich nur im y-wert unterscheiden. Also der letzte Punkt vom Versuch hat die Koordinaten (60/13,3) und der letzte Punkt der drehung hat im gedrehten KOS ungefähr die Koordinaten(60/6,3) Müssten die Koordinaten nicht eigtl gleich sein wenn man sie auf das jeweilige KOS bezieht? Oder täusche ich mich da und das ist richtig so?
16.01.2014, 13:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach mal eine EXCEL-Tabelle mit folgenden Spalten --------------------------------------------------------------------- Spalte 1: Nummer i=1,2,3... der Wertepaare Spalte 2: alte x-Werte x(1), x(2), x(3),... Spalte 3: alte y-Werte y(1), y(2), y(3),... Spalte 4: neue x-Werte x(i)cos(phi)-y(i)sin(phi) Spalte 5: neue y-Werte x(i)sin(phi)+y(i)cos(phi) ------------------------------------------------------------------ Eventuell hast du bei der grafischen Darstellung mit EXCEL die Spalten verwechselt, deren Werte garfisch dargestellt werden sollen. Ansonsten kann man nicht viel falsch machen.
16.01.2014, 13:34	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Für eine Drehung im Uhrzeigersinn müssen die Gleichungen doch so lauten: neue x-Werte x(i)cos(phi)+y(i)sin(phi) neue y-Werte x(i)-sin(phi)+y(i)cos(phi) Oder? Dann komm ich aber immernoch auf dieses Ergbnis:
16.01.2014, 14:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner zweiten Gleichung hast du geschrieben $\begin{eqnarray} x(i)\cdot -\sin(\phi)+y(i)\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ Da fehlt eine Klammer. Es muss richtig heißen $\begin{eqnarray} x(i)\cdot (-\sin(\phi))+y(i)\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ Du musst natürlich auch in EXCEL die Klammern richtig setzen.
16.01.2014, 14:54	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab nochmal alle klammern überprüft. Alle sind da wo sie sein müssen. Dann muss mein Verlauf ja richtig sein oder? Ich kann auch gerne mal meine Excel-Datei hochladen
16.01.2014, 15:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann die rar.Datei z.Z.leider nicht öffen... Um den Fehler zu finden, nimm doch einfach die 4 Eckpunkte eines Quadrates z.B. (1\|1), (2\|1), (2\|2), (1\|2) und drehe diese mit einem kleinen EXCEL-Programm. Wenn das Quadrat bei der Drehung "verzerrt" wird, kannst du den Fehler im EXCEL-Code schnell lokalisieren.
16.01.2014, 15:57	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Ich habe jetzt mal das Viereck gezeichnet. Es ist deutlich verzerrt. Aber woher weis ich jetzt wo der Fehler liegt?
16.01.2014, 18:55	Cain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs endlich. Manchmal steht man echt auf dem Schlauch. Da die Skalierung der x- und y-Achse unterschiedlich war konnte das Ganze ja nur verzerrt aussehen. Komm mir grade ziemlich blöd vor^^ Nochmals vielen Dank für die Hilfe

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