Laplace-Moivre Aufgabe

15.01.2014, 17:58

HansS

Laplace-Moivre Aufgabe

Sie erfahren, dass durchschnittlich ein Drittel der Einwohner ein Auto
besitzt. Bestimmen Sie unter Benutzung des Grenzwertsatzes von
deMoivre/Laplace die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 180 zufällig
ausgewählten Einwohnern der Insel
a) nicht mehr als 65 ein Auto besitzen;
b) mehr als 50, aber nicht mehr als 70 ein Auto besitzen.

Meine Lösung ist als Screenshot angehängt.

Es wäre nett, wenn jemand überprüfen könnte, ob Ansatz und Werte so stimmen.

Vielen Dank smile

15.01.2014, 22:38

identity

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RE: Laplace-Moivre Aufgabe
Zu Teil a) würde ich sagen das es richtig ist.

Bei Teil b) ist mir jedoch nicht bewusst (+0,5 und -0,5), warum 70+0,5-60 und 50-0,5-60.

16.01.2014, 08:50

Kasen75

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@HansS

zu b)

Deine Formel für $\begin{eqnarray*} P(a < X < b) \end{eqnarray*}$ scheint mir nicht ganz schlüssig. Woher hast du sie ?

Außerdem hättest du trotzdem falsch eingesetzt. Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(50 < X \leq 70)=P(50 < X < 71) \end{eqnarray*}$

Grüße.

16.01.2014, 10:13

identity

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identity
hallo kasen75

warum 50 und 71?

es wird doch gesagt das mehr als 50 aber nicht mehr als 70 Personen

somit hätte ich gesagt
50 kleiner gleich X kleiner gleich 70

sonst wäre der teil bei a) in meinen augen auch falsch

könntest du mich bitte verbessern falls ich falsch liege und es mir begründen?

16.01.2014, 10:30

Kasen75

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Hallo identity,
.
Wahrscheinlichkeit, dass X mehr als 50 ist ja $\begin{eqnarray*} P(X > 50) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} P( X \geq 50) \end{eqnarray*}$ .-
Insgesamt ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} P( 50 < X \leq 70) \end{eqnarray*}$

16.01.2014, 11:25

HAL 9000

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Kleiner Exkurs zur richtigen Anwendung der Stetigkeitskorrektur:

Für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ und binomialverteilte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ berechnet man

$\begin{eqnarray*} P(a<X<b) = P(a + 0.5 < X < b - 0.5) \approx \Phi\left( \frac{b-0.5-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a+0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. man wandelt das Intervall zunächst so bzgl. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ereignistreu (!) um, dass die Intervallgrenzen genau auf der Mitte zwischen zwei ganzen Zahlen liegen (d.h. "nnnn.5"), und wendet dann darauf die übliche Intervallwahrscheinlichkeit der Normalverteilung als die passende Approximation an.

Gemäß dieser Eselsbrücke ist dann entsprechend

$\begin{eqnarray*} P(a\leq X<b) = P(a - 0.5 < X < b - 0.5) \approx \Phi\left( \frac{b-0.5-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a-0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(a<X\leq b) = P(a + 0.5 < X < b + 0.5) \approx \Phi\left( \frac{b+0.5-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a+0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(a\leq X\leq b) = P(a - 0.5 < X < b + 0.5) \approx \Phi\left( \frac{b+0.5-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a-0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ .

17.01.2014, 09:41

HansS

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Hi,

die Formel habe ich hier her:
http://lehrerfortbildung-bw.de/faecher/m...e/01_naeherung/

Ist sie denn falsch?
Ich gehe nun von
P(50<x<71) aus.

17.01.2014, 10:52

Kasen75

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@HansS

Meiner Meinung nach, wird dort falsch argumentiert. Dort wird nämlich mit der Dichtefunktion argumentiert. Es geht aber um die Verteilungsfunktion. Und hier Integriert man bis b+0.5, damit man das ganze Rechteck am Ende erwischt.

So oder so, würde ich bei den Formeln von Hal 9000 bleiben. Das ist eine gute Strategie.

Du kannst natürlich von $\begin{eqnarray*} P(50<x<71) \end{eqnarray*}$ ausgehen.

30.08.2017, 11:42

Meggo0

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Hallo zusammen,

gibt es einen Unterschied bei der Anwendung (Wahrscheinlichkeiten), wenn ich die Formel ohne Stetigkeitskorrektur verwende? Oder bleibt dann die Formel gleich?

D.h. Egal ob ich beispielsweise p(a<X<b) oder p(a<=X<=b) oder p(a<X<=b) habe, meine Formel würde dann ohne Stetigkeitskorrektur immer so aussehen? (Siehe Dateianhang).

Was ist der Unterschied zwischen mit und ohne Stetigkeitskorrektur? Kann ich das frei wählen?

Danke für euer Bemühen.

Gruß

30.08.2017, 14:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Meggo0
Kann ich das frei wählen?

Nein, wenn wir das Prinzip "Beliebigkeit" hier walten lassen, dann können wir die Bemühungen um möglichst hohe Genauigkeit (was ja das Motiv für die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist) auch gleich ganz sein lassen. unglücklich

Idee hinter der Stetigkeitskorrektur:

Approximiert man eine auf den ganzen Zahlen (oder einem Teilintervall davon) verteilte Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ - wie etwa eine Binomialverteilung - durch die Normalverteilung mit zugehöriger dann stetig verteilter Zufallsgröße $\begin{align*} \tilde{X}\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align*}$ - was zumeist über den Zentralen Grenzwertsatz (ZGWS) geschieht - dann bedeutet das im einzelnen, dass man als Näherung für die diskrete Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(X=k) \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} P\left(k-\frac{1}{2}\leq \tilde{X}\leq k+\frac{1}{2}\right) \end{align*}$ nimmt, d.h., es ist

$\begin{align*} P(X=k) \approx P\left(k-\frac{1}{2}\leq \tilde{X}\leq k+\frac{1}{2}\right) = \Phi\left( \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{k-0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{align*}$ .

D.h., man gruppiert ein Intervall der Länge 1 zentral um die bewusste Stelle $\begin{align*} k \end{align*}$ .

Für ein ganzes Intervall von diskreten Werten folgt dann entsprechend für ganze Zahlen $\begin{align*} a,b \end{align*}$

$\begin{align*} P(a\leq X\leq b) = \sum_{k=a}^b P(X=k) \approx \sum_{k=a}^b \left( \Phi\left( \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{k-0.5-\mu}{\sigma}\right)\right) = \Phi\left( \frac{b+0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{a-0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{align*}$ .

Ersetzt man < durch <. dann ergeben sich entsprechend die Varianten

$\begin{align*} P(a\leq X < b) = P(a\leq X\leq b-1) = \Phi\left( \frac{b-0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{a-0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{align*}$

$\begin{align*} P(a < X\leq b) = P(a+1\leq X\leq b) = \Phi\left( \frac{b+0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{a+0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{align*}$

$\begin{align*} P(a < X < b) = P(a+1\leq X\leq b-1) = \Phi\left( \frac{b-0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{a+0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{align*}$ .

Wohlgemerkt, dies setzt ganze Zahlen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ voraus, sowie auf den ganzen Zahlen diskret verteilte $\begin{align*} X \end{align*}$ voraus!!!

Das Kreuz ist, dass viele nicht die diskrete Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ von der sie approximierenden stetig normalverteilten Zufallgröße $\begin{align*} \tilde{X} \end{align*}$ gedanklich trennen können: Bei letzterer ist es wie bei jeder stetigen Zufallgröße tatsächlich völlig egal, ob man Intervalle offen oder geschlossen betrachtet - bei einer diskreten Zufallsgröße wie $\begin{align*} X \end{align*}$ aber nicht!

30.08.2017, 14:49

Meggo0

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Hallo HAL 9000,

um das auf die Aufgabe zu transferieren...

dann müsste ich bei

a) noch + 0,5 rechnen! Warum wurde das dann hier weggelassen?

b) Ausgang: P(50<X<=70) bzw. P(50<X<71). Wie würde es dann bei der b) aussehen?

30.08.2017, 14:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Meggo0
dann müsste ich bei

a) noch + 0,5 rechnen! Warum wurde das dann hier weggelassen?

Warum, warum... Weil HansS dort inkonsequenterweise da die Stetigkeitskorrektur eben nicht angewandt hat.

Zitat:

Original von Meggo0
b) Ausgang: P(50<X<=70) bzw. P(50<X<71). Wie würde es dann bei der b) aussehen?

Ich hab doch die richtigen Formeln gerade genannt, und (wie ich jetzt erst sehe) vor paar Jahren oben auch schon. Dann setz doch einfach ein.

07.01.2022, 15:01

dergärtner

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Moin zusammen,

ich muss sagen ich werde daraus nicht so wirklich schlau.

Es handelt sich um eine diskrete Zufallsverteilung. Der Satz von Moivre/Laplace bezieht sich alledings auf eine stetige Zufallsverteilung weshalb HAL 9000 vorgeschlagen hat eine Stetigkeitskorrektur vorzunehmen. Diese ist doch nur anzuwenden wenn gilt n*p*(1-p) < 9 gilt.

lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/der-grenzwertsatz-von-moivre-laplace

In diesem Fall also 180*1/3*2/3 = 40. Von daher müsste diese doch nicht verwendet werden.

Im Gegensatz zu einer stetigen Verteilung bei der für jedes P(X=Y)=0 gilt ist dies bei einer diskreten Zufallsverteilung nicht so, da für jedes P(X=Y) ein Wert zwischen 0 und 1 angenommen wird.

Somit folgt daraus, "mehr als 50 und nicht mehr als 70" mit Berücksichtigung einer diskreten Verteilung, dass der Wert für P(X=50) abgezogen werden muss. Also müsste doch gelten P(50<X<=70). Diese Aussage ist ja wie bereits von Kasen75 erwähnt äquivalent zu P(50<X<71). Nun bin ich mir unsicher wie ich weitermachen soll. Kann ich P(50<X<71) einfach einsetzen, sodass sich ergibt:

¦((71-¼)/Ã)-¦((50-¼)/Ã)= ¦(1,74)-¦(-1,58)=0,902 oder muss ich noch etwas anderes Bedenken?

Ich wäre sehr Dankbar, für eine Erklärung smile

07.01.2022, 16:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von dergärtner
Diese ist doch nur anzuwenden wenn gilt n*p*(1-p) < 9 gilt.

Da scheinst du was gehörig zu verwechseln: Die Stetigkeitskorrektur ist eigentlich immer ein gute Idee. Hättest mal die von dir verlinkte Seite

lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/der-grenzwertsatz-von-moivre-laplace

wirklich gründlich lesen sollen - die sehen das in der Beispielrechnung nämlich ganz genauso.

Die von dir genannte Ungleichung ist eher ein Kriterium dafür, ob es überhaupt Sinn macht, die Binomialverteilung durch die Normalverteilung zu approximieren. Für kleinere Werte als 9 wird das nämlich zunehmend absurd.

Zitat:

Original von dergärtner
¦((71-¼)/Ã)-¦((50-¼)/Ã)= ¦(1,74)-¦(-1,58)=0,902 oder muss ich noch etwas anderes Bedenken?

Wenn du willst, dass wir darüber diskutieren, dann schreib das doch bitte lesbar.

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Ok, rechnen wir es erneut durch: $\begin{eqnarray*} P\left(50<X<71\right) \approx \Phi\left(\frac{70.5-60}{\sqrt{40}}\right) - \Phi\left(\frac{50.5-60}{\sqrt{40}}\right) \approx 0.88502 \end{eqnarray*}$

Zum Vergleich die EXAKTE Rechnung mit der Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(180,\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left(50<X<71\right) = \sum_{k=51}^{70} P(X=k) \approx 0.88526\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Und nun deine Rechnung mit Ignoranz der Stetigkeitskorrektur, weil die hier ja angeblich nicht nötig ist:

$\begin{eqnarray*} P\left(50<X<71\right) \stackrel{?}{\approx} \Phi\left(\frac{71-60}{\sqrt{40}}\right) - \Phi\left(\frac{50-60}{\sqrt{40}}\right) \approx 0.90208 \end{eqnarray*}$

Welcher Wert ist näher dran am richtigen Wert 0.88526 gemäß Binomialverteilung: 0.88502 oder 0.90208 ? Augenzwinkern

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