Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?

15.01.2014, 20:00

nagron123

Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?

Meine Frage:
Hey smile

Also wir haben heute im Matheunterricht Intergalrechnung angefangen. Wir sind so herangegangen, dass wir Rechtecke in das Integral gelegt haben, die einmal etwas zu viel Flächeninhalt berechnen und die anderen etwas zu wenig. Dann haben wir sie Summen berechnet und haben irgendwann versucht das zu einem allgemeinen Ansatz zu formulieren mit "n" Unterteilungen und "b" Längen ( o.ä.)
Jedenfalls hatten wir irgendwann die Summe ( 1 + 4 + 6 +9 ...... +(n-1)^2 ) dort stehen. Um das zu vereinfachen hat der Lehrer das Zeichen : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ benutzt, hat das aber nicht richtig erklärt sodass ich nicht wirklich alles verstanden habe.
Also wenn ich das richtig verstanden habe ist k die Anfangszahl mit der man die Summe beginnt und n ist womit die Summe aufhört.
Also z.B.: die Aufzählung ist :
(1+2+3+4+5)
Dann würde man schreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^5 k \end{eqnarray*}$ oder nicht?
Er meinte, dass k immer eins ist und dass dort z.B. nicht 0,5 stehen darf...aber wieso nicht? die Summe könnte doch auch mit 0,5 anfangen? und warum genau steht hinter diesem Zeichnen nochmal ein k ? für was steht es?

Wenn einer mir helfen möchte, dann bitte so einfach wie es geht, denn im Matheunterricht ist es schon schwer genug das zu verstehen.

Danke schon mal im Voraus smile

Meine Ideen:
Meine eigenen Ansätze stehen ja schon oben ich hab nur allgemeine Fragen, auf die ich bis jetzt noch keine Antwort gefunden hab...

15.01.2014, 20:41

Cheftheoretiker

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RE: Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?
Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^nf(a+\Delta xk)\Delta x=\int_a^bf(x)~dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Delta x=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$

Die Summenformel die dein Lehrer aufgeschrieben hat nennt sich auch der kleine Gauß bzw. Gaußsche Summenformel. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^nk=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ . Dazu kannst du ja mal bei Wikipedia schauen. Ich bin ein Link!

Beste Grüße!

17.01.2014, 12:14

nagron123

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RE: Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^nf(a+\Delta xk)\Delta x=\int_a^bf(x)~dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Delta x=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$

Entschuldige bitte aber ich habe erklärt, dass ich dieses Summenzeichen nicht versteh und warum man nur mit eins anfangen darf usw.

Da hilft mir das ja wohl herzlich wenig weiter, davon versteh ich nämlich gar nichts (Wikipedia auch nicht viel mehr).

Kann das nicht jemand einfach erklären? Ich bin kein Mathe Genie und versteh das nicht wenn man mir da sowas hinklatscht, ich dachte das Forum wär dafür da um solche Fragen zu stellen.

17.01.2014, 12:49

Steffen Bühler

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RE: Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?
Ich helf mal kurz aus.

Eine solche Summe läuft grundsätzlich über ganze Zahlen, daher kann man nicht mit 0,5 beginnen. Sie muss allerdings nicht bei 1 beginnen, sie kann auch von meinetwegen 3 bis 8 gehen. Oder von -42 bis 19.

Was hinter dem Summenzeichen steht, sind die einzelnen Summanden. Also was aus dem Summenindex berechnet und dann aufaddiert wird.

In Deinem genannten Beispiel ist es einfach k, da wird also gar nichts berechnet, die einzelnen k werden addiert. Denkbar ist aber auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^3 2^k+k \end{eqnarray*}$

Das wäre dann $\begin{eqnarray*} (2^1+1)+(2^2+2)+(2^3+3)=3+6+11=20 \end{eqnarray*}$

Auch muss es nicht unbedingt k heißen, Variablen kannst Du natürlich nennen, wie Du willst. Gerne werden auch i und j genommen.

Viele Grüße
Steffen

17.01.2014, 12:59

nagron123

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RE: Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?
@Steffen Bühler : So eine Antwort hatte ich mir erhofft, danke dafür Big Laugh

17.01.2014, 13:00

Cheftheoretiker

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RE: Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?
In deiner Fragestellung stecken zwei Fragen. Erst einmal wie der Flächeninhalt unter einer Kurve als Summe ausgedrückt werden kann.
Die zweite Frage ist was die Summe eigentlich ist und das dein Lehrer mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^nk \end{eqnarray*}$ gearbeitet hat.

Die Reihe die ich dir aufgeschrieben habe ist die Definition der Fläche unter einer Kurve als unendliche Summierung von Flächenstücken.

$\begin{eqnarray*} f(a+\Delta xk) \end{eqnarray*}$ gibt quasi den y-Wert (die Breite) an und $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ den x-Wert (die Länge). Es ist also quasi nichts anderes als wenn du unendlich viele Rechtecke unter deine Kurve zeichnest und diese aufsummierst (Für ein Rechteck gilt nämlich $\begin{eqnarray*} A=l\cdot b \end{eqnarray*}$ also Länge mal Breite).

Zu deiner zweiten Frage. Wenn du die Zahlen $\begin{eqnarray*} S_4=1+2+3+4 \end{eqnarray*}$ aufsummieren möchtest kannst du die Partialsumme (Ja, man nennt es so) auch mit dem Summenzeichen Sigma abkürzen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^4k=1+2+3+4=10 \end{eqnarray*}$ .

18.01.2014, 09:48

nagron123

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RE: Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?

Zitat:

Original von Cheftheoretiker

$\begin{eqnarray*} f(a+\Delta xk) \end{eqnarray*}$ gibt quasi den y-Wert (die Breite) an und $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ den x-Wert (die Länge). Es ist also quasi nichts anderes als wenn du unendlich viele Rechtecke unter deine Kurve zeichnest und diese aufsummierst (Für ein Rechteck gilt nämlich $\begin{eqnarray*} A=l\cdot b \end{eqnarray*}$ also Länge mal Breite).

as andere habe ich verstanden, aber was ist $\begin{eqnarray*} f(a+\Delta xk) \end{eqnarray*}$ ? oder genauer das $\begin{eqnarray*} (a+\Delta xk) \end{eqnarray*}$
Sowas hatten wir noch nicht ..

18.01.2014, 10:27

Cheftheoretiker

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RE: Herleitung Integralrechnung, Summenzeichen?
Es ist nichts anderes als der Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} a+\Delta x k \end{eqnarray*}$ .

Beste Grüße!

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