Ein Grenzwert

16.01.2014, 10:31	Letim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Grenzwert Aloha, ... unter all den Grenzwertfragen die hie schon gestellt wurden, war diese noch nicht dabei. Kannst du mir bitte erklären was hier gemacht wurde (Aufgabe bzw. Lösung ab einem Aufgabenblatt). $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin ^{4} x + \tan ^{3} x + \arctan^{2}x -x ^{2}}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{ \arcsin ^{4} x}{x^4} x^{4} + \frac {\tan ^{3} x} {x^{3} } x ^{3} + \frac{ \arctan^{2}x}{x ^{2}} x^{2} -x ^{2}}{ \frac{ \sin ^{2} x}{x^{2}} x^{2}} =0<br /> \end{eqnarray}$ Dies sieht zwar alles schön und gut aus, mir ist aber nicht klar warum diese Umformungen gemacht wurden, und folglich ist mir schleierhaft, wie man auf des Resultat "0" kommt. Ich hätte das Problem mit dem Satz von Hôptial gelöst, aber diese Variante scheint doch viel praktischer. Kannst du mir bitte ein paar Hinweise geben, vielen Dank! Letim
16.01.2014, 10:51	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein Grenzwert Im wesentlichen wird hier die Eigenschaften des Differentialquotienten genutzt. Beispielsweise ist für f(x) = sin(x): $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{sin(x) - sin(0)}{x-0} = f'(0) = cos(0) = 1 \end{eqnarray}$ Wenn man das analog auf die 3 Funktionen im Zähler anwendet und noch x² kürzt, dann ist man fast am Ziel.

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