Optimierung mit Lagrange |
| 16.01.2014, 12:47 | Miluuu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Optimierung mit Lagrange Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter A und B zu den (veränderbaren) Preisen p1 (Gut A) und p2 (Gut B) an. Die Nachfrage nach diesen beiden Gütern wird durch die beiden Nachfragefunktionen q1 ( p1 , p2 ) = 75-25p1+10p2 q2 ( p1 , p2 ) = 98-10p1-4p2 bestimmt, wobei q1 die Nachfrage nach Gut A und q2 die Nachfrage nach Gut B beschreibt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen pro Stück 1 GE (Gut A) und 1 GE (Gut B). Es gibt ein eindeutig bestimmtes Paar ( p1 , p2 ) von Preisen für die beiden Güter A und B, sodass das Unternehmen maximalen Gewinn erzielt. Welcher Gewinn kann maximal erzielt werden? Meine Ideen: Ich habe leider keine Ahnung was ich machen muss... Wäre für Hilfe sehr dankbar! |
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| 18.01.2014, 12:30 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Löse das durch die beiden Nachfragefunktionen bestimmte lineare Gleichungssystem nach p1 und p2. In den Lösungen sind dann die Variablen (Stückzahlen) q1 und q2, deren Werte numehr für das Optimum zu bestimmen sind. Dazu stellen wir die beiden Erlösfunktionen auf: e1 = p1q1 und e2 = p2q2 und dann die beiden Kostenfunktionen (mittels der Angabe, dort sind die Kosten für beide Güter jeweils 1 GE) k1(q1) = q1 und k2(q2) = q2 Daraus werden nun die beiden Gewinnfunktionen g1 = p1q1 - q1 und g2 = p2q2 - q2 und der Gesamtgewinn g(q1, q2) = g1 + g2 = (p1 - 1)q1+ (p2 - 1)q2 erstellt. In dieser letzten Gewinnfunktion werden die Lösungen p1, p2 des o. a. LGS eingesetzt. Darin befinden sich nur noch die Variablen (Stückzahlen) q1, q2, die Funktion kann nun nach Lagrange optimiert werden. Hinweis: Man muss nur noch die partiellen Ableitungen Null setzen, weitere Nebenbedingungen gibt es nicht. [Kontrollergebnisse: q1 = 135, q2 = 30; p1 = 2,2, p2 = 11,5] mY+ |
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