Iterationsvorschrift Newton-Verfahren

16.01.2014, 13:03

Lockee

Iterationsvorschrift Newton-Verfahren

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Es geht um das Newton-Verfahren. Ich habe einige Beispiele dazu gemacht und das Prinzip ist mir auch vollkommen klar, allerdings hänge ich jetzt schon ewig bei einer Iterationsvorschrift fest, die mir einfach nicht klar ist.

Die Aufgabe lautet ganz einfach: Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens die reellen Lösungen der nachfolgenden Gleichung

1.) $\begin{eqnarray*} x^{3}- 3*x-2=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Iterationsvorschrift wäre dann meiner Meinung nach:
mit $\begin{eqnarray*} f'(x) = 3*x^{2} - 3 = 3*(x^{2}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}^{3}-3*x_{n}-2 }{3*(x_{n}^{2}-1) } \end{eqnarray*}$
man kann hier an der Ableitung ja schon erkennen dass es eine doppelte Nullstelle bei -1 gibt, die andere liegt bei 2, das habe ich schon graphisch ermittelt.
Problem das Newton-Verfahren funktioniert hier so nicht mit meinem Iterationsschritt, wahrscheinlich weil es eine doppelte Nullstelle gibt.

Der richtige Iterationsschritt ist angegeben und lautet:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{2*x_{n}^{3}+2 }{3*(x_{n}^{2}-1) } \end{eqnarray*}$

aber wie komme ich darauf? Ich verstehe nicht wie dieser Zähler zustande kommt und wäre über Hilfe sehr dankbar.

16.01.2014, 13:35

Kasen75

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RE: Iterationsvorschrift Newton-Verfahren

Zitat:

Original von Lockee

Der richtige Iterationsschritt ist angegeben und lautet:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{2*x_{n}^{3}+2 }{3*(x_{n}^{2}-1) } \end{eqnarray*}$

aber wie komme ich darauf? Ich verstehe nicht wie dieser Zähler zustande kommt und wäre über Hilfe sehr dankbar.

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}^{3}-3*x_{n}-2 }{3*(x_{n}^{2}-1) } \end{eqnarray*}$

Erweitere $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 3*(x_{n}^{2}-1) \end{eqnarray*}$ und fasse zusammen.

Grüße.

16.01.2014, 13:53

Lockee

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RE: Iterationsvorschrift Newton-Verfahren
oh gott danke! wie blind kann man sein... ich geh mal los und schlag mir mit einem hammer auf den kopf Hammer

16.01.2014, 14:20

Kasen75

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Das mit dem Hammer würde ich lieber lassen. Bei mir hat es jedenfalls nicht funktioniert.

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