Konvergenz einer Folge mit Grenzwert

16.01.2014, 17:30

christoph90

Konvergenz einer Folge mit Grenzwert

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich habe ein Problem mit einer Folge, wo auf Konvergenz geprüft werden soll und der Grenzwert falls vorhanden angegeben werden soll.
Im Anhang habe ich mal meinen Rechnungsansatz gezeigt, ich hänge am Punkt 4 beim Exponenten.
Ich würde erst den Limes des Exponenten (=0) berechnen und dann 2*n^0=2.
Also würde ich auf einen Grenzwert von 7 kommen. Wenn ich die Funktion mal plotte, sieht man das man die Funktion bzw. Die Bestimmung des Grenzwertes in verschiedenen Bereichen festlegen muss.
Könnte mir jemand dazu vielleicht eine Erklärung geben?

Meine Ideen:
Siehe Beschreibung

16.01.2014, 21:28

Nusskat

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Hi,

Schritt (2) - (3) ist leider nicht korrekt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a+b} = (a+b)^{\frac 1 n} \ \textcolor{red}{\neq} \ a^{\frac 1 n} + b^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$

Infolgedessen ist der von dir berechnete Grenzwert falsch. Übrigens würde ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \pm \infty} a_n \end{eqnarray*}$ schreiben, da die Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gar nicht in der Folge vorkommt!

Da $\begin{eqnarray*} 5^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ schneller wächst als 2n² kannst du ja mal anfangen den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5^n} \end{eqnarray*}$

zu berechnen und anhand dessen argumentieren wie der Grenzwert deiner Folge für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ lautet. Tipp für den Rest: Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 5^n \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} n \to - \infty \end{eqnarray*}$ gegen null.

Wieso postest du die Frage in die Schulmathematik?

17.01.2014, 16:23

Grautvornix

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RE: Konvergenz einer Folge mit Grenzwert
Das, was du da als 'Wurzelregel' erwähnst ist falsch.
Wenn überhaupt, dann kann das nur für eine 'feste' Wurzel funktionieren.

Betrachte z.B. mal folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2n^2+5^n}=\frac 15\sqrt[n]{1+\frac{2n^2}{5^n}} \end{eqnarray*}$

Es gibt viele Möglichkeiten das Grenzverhalten dieser Folge zu untersuchen.
Entscheidend ist welche Werkzeuge ihr schon zur Verfügung habt.

17.01.2014, 23:19

Grautvornix

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RE: Konvergenz einer Folge mit Grenzwert
Ups, oben ist 'n kleiner Typo.

Zitat:

Original von Grautvornix
...

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2n^2+5^n}=5\sqrt[n]{1+\frac{2n^2}{5^n}} \end{eqnarray*}$

...

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