Matrizenrechnung

16.01.2014, 18:43

crumblecake

Matrizenrechnung

Meine Frage:
Hallo!
Ich brauche dringend Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -3 & -1 & -6 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} -26 \\ 10 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimme unter Anwendung der Matrixrechenregeln alle Lösungen u von Au=b, die sich aus der Kenntnis von Ax und Ay ergeben!

Meine Ideen:
Ich habe einfach versucht, drei Gleichungen aus Au=b zu machen und sie einzeln aufzulösen, aber leider funktioniert das nicht, weil da rauskommt
$\begin{eqnarray*} u_1 = 10-2u_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 20 = 24 \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich Ax ausrechne, kommt da ein Ergebnis raus, das -2-mal so groß ist wie b. Wenn ich für u einfach x*(-2) rechne habe ich zwar ein u, wo die Gleichung Au=b erfüllt ist, aber das ist wahrscheinlich nicht das, was die Aufgabe will, oder?

17.01.2014, 18:22

Elvis

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Warum versuchst du "einfach" etwas Sinnloses ? Warum machst du nicht einfach das, was vorgeschlagen wird, nämlich Ax und Ay berechnen ? Danach weißt du mehr.

17.01.2014, 22:21

crumblecake

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RE: Matrizenrechnung

Zitat:

Original von crumblecake
Aber wenn ich Ax ausrechne, kommt da ein Ergebnis raus, das -2-mal so groß ist wie b. Wenn ich für u einfach x*(-2) rechne habe ich zwar ein u, wo die Gleichung Au=b erfüllt ist, aber das ist wahrscheinlich nicht das, was die Aufgabe will, oder?

... hab ich doch?!

und bei Ay kommt einfach ein Nullvektor raus, aber wie soll mir das jetzt helfen?

18.01.2014, 10:05

Elvis

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Aus Ay=0 weißt du, dass nicht nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird, also ist die Dimension des Kerns mindestens 1. Da der Rang von A gleich 2 ist, ist die Dimension des Kerns genau 1.
Eine allgemeine Lösung eines LGS ist eine spezielle Lösung (die hast du mittels Ax berechnet zu u=-2x) plus ein Untervektorraum, der dieselbe Dimension hat wie der Kern, der sogar der Kern der linearen Abbildung ist, zu der A als Darstellungsmatrix gehört.
In der Tat ergibt sich mit Gauß genau eine solche Lösungsmenge. smile

-y/2 erzeugt den Kern, -2x ist eine spezielle Lösung. Tanzen

18.01.2014, 15:36

crumblecake

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... und das heißt jetzt genau was?

also so wie ich das jetzt gerade verstanden habe, ist zwar u = -2x eine Lösung, aber nicht die einzige?

19.01.2014, 16:19

crumblecake

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was dagegen, wenn ich die Frage noch mal poste, damit mir hier jemand hilft, der auch helfen kann?
ich brauche die antwort nämlich bis morgen...

19.01.2014, 19:12

Elvis

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Wenn du die Theorie linearer Gleichungssysteme nicht kennst und auch nicht weißt, wie man lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus löst, kann ich dir nicht helfen.
Ich kann dir nur noch einmal sagen, dass die Lösungsmenge wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{-2x+ty|t\in K\} \end{eqnarray*}$ (wobei ich noch nicht einmal weiß, über welchem Körper K dein Vektorraum liegt)

19.01.2014, 20:00

crumblecake

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hat das was hiermit zutun?

$\begin{eqnarray*} \phi(\lambda*x + \mu*y) = \lambda*\phi(x) + \mu*\phi(y) \end{eqnarray*}$

20.01.2014, 18:57

Elvis

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Ja. Eine ausführliche Erklärung findet in der Vorlesung Lineare Algebra I statt und dauert ein Semester. Bis man es verstanden hat, dauert es (erfahrungsgemäß (nach eigener Erfahrung)) länger.

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