Wie bestimme ich hier den Df. ?

16.01.2014, 21:20

goldfisch91

Wie bestimme ich hier den Df. ?

Aufgabe im Anhang.

Ich hab hier Probleme mit ln( |x-3| ^x )

Wie kann ich denn herausfinden wann daraus ln 1 wird ( und somit 0 ) ?

16.01.2014, 23:34

Mathewolf

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Versuch es mal mit der Logarythmus-Regel $\begin{eqnarray*} \ln (y^n)=n\ln y \end{eqnarray*}$ . Ansonsten betrachte mal das Argument des Logarythmus. Vielleicht hilft dir das ja schon weiter.

17.01.2014, 11:36

goldfisch91

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Also ich habe jetzt ( x^2 -2x -35 ) in (x+5)(x-7) umgeformt und somit

Df = R \ {-5, 7, 0, 4, 2}

Stimmt das soweit? Dadurch dass ich die Potenz aus ln gezogen habe muss ich die 0 ausschließen, und da in ln|x-3| Betragsstriche sind 4 und 2.

Wenn ich jetzt in b) das Verhalten an den Rändern herausfinden will, muss ich die Funktion jetzt gegen + und - Unendlich laufen lassen und gegen diese ausgeschlossenen Werte?

mfg

17.01.2014, 12:01

Mathewolf

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Zitat:

Df = R \ {-5, 7, 0, 4, 2}

Der Definitionsbereich ist noch zu groß. Da muss noch ein weiterer Wert ausgeschlossen werden. Tipp: Über welche Menge ist der Logarythmus definiert?

Naja, das Globalverhalten von f ist hier ja nicht gefragt. Daher kannst du dir die Limiten $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to-\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ sparen.
Um das Verhalten von f an den Definitionslücken zu untersuchen, musst du dich ihnen beidseitig annähern.

17.01.2014, 12:03

goldfisch91

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Ja, ok. ln darf nicht 0 werden also muss noch 3 ausgeschlossen werden. Danke für deine Hilfe. Ich schreib gleich mal was ich da raus kriege...

__

Edit: Ich würde an einer Stelle gerne dividieren. Jetzt steht bei mir im Nenner ln (|x-3|). Wenn ich jetzt durch x^2 dividiere, worauf muss ich da achten? Kann ich das einfach in die Klammern ziehen?

17.01.2014, 15:43

Mathewolf

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Im Allgemeinen ist es immer problematisch, durch einen x-Term zu dividieren.
Zeig doch mal den Schritt, den du da vollziehen willst. Ich weiß nämlich nicht, was du da jetzt machen willst.

17.01.2014, 15:54

goldfisch91

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ich wollte einfach alles mit der höchsten potenz x^y teilen, damit ich ggf. dann das randverhalten besser prüfen kann. aber das scheint wohl so auch nicht zu funktionieren. was kann ich denn noch an umformungen machen, damit ich das randverhalten besser bestimmen kann, oder was sollte ich denn sonst noch mit ln machen?

17.01.2014, 16:25

Mathewolf

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Nun, schreiben wir erst mal den Funktionsterm etwas um:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2-3x}{(x^2-2x-35)\ln(|x-3|^x)}\ \Leftrightarrow\ f(x)=\frac{x(x-3)}{x(x+5)(x-7)\ln|x-3|} \end{eqnarray*}$
Hieraus sehen wir schon mal, dass x=0 offensichtlich eine hebbare Definitionslücke ist.

17.01.2014, 18:09

Dopap

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"hebbare Definitionslücke" gefällt mir gar nicht, denn jede Definitionslücke ist per Definition schließbar.

hebbare Unstetigkeit klingt schon besser.

18.01.2014, 18:04

goldfisch91

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Wenn ich das Verhalten an den Rändern prüfen muss, kann ich dann einfach die Definitionslücken bzw die Unstetigkeiten in ln dann einsetzen ( für x ) ? Oder muss ich da noch was beachten bei ln ?

18.01.2014, 18:46

Mathewolf

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Nein, du musst dich einmal von links der Definitionslücke annähern und einmal von rechts.

18.01.2014, 19:00

goldfisch91

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Achso, wie muss ich das denn umformen? Ich kann da nicht ganz genau sehen wo die Werte hin konvergieren, weil ich die Zahlen ja nicht einsetzen kann ( geteilt durch 0 ).

19.01.2014, 00:01

Mathewolf

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Ok, ich zeig es dir an einem der kritischen Stellen:
Die Definitionsmenge ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \mathbb D_f=\mathbb R\backslash\{-5,0,2,3,4,7\} \end{eqnarray*}$ . Als Beispiel wähle ich mal dire Definitionslücke bei x=3. Zu betrachten haben wir dann
1. im Falle der Annäherung von links:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 3}\frac{x(x-3)}{x(x+5)(x-7)\ln|x-3|} = \lim_{n\to\infty}\frac{\left(3-\frac1n -3\right)}{\left(3-\frac1n+5)(3-\frac1n-7\right)\ln\left|3-\frac1n-3\right|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\frac1{n\left(8-\frac1n)(4+\frac1n\right)\ln\left(\frac1n\right)} = -\lim_{n\to\infty}\frac1{n\left(8-\frac1n)(4+\frac1n\right)\ln n} = 0 \end{eqnarray*}$

Im Falle der Annäherung von rechts:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 3}\frac{x(x-3)}{x(x+5)(x-7)\ln|x-3|} = \lim_{n\to\infty}\frac{\left(3+\frac1n -3\right)}{\left(3+\frac1n+5)(3+\frac1n-7\right)\ln\left|3+\frac1n-3\right|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\frac1{n\left(8+\frac1n)(4-\frac1n\right)\ln\left(\frac1n\right)} = \lim_{n\to\infty}\frac1{n\left(8+\frac1n)(\frac1n-4\right)\ln n} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du ja weitermachen. Augenzwinkern

20.01.2014, 10:35

goldfisch91

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Das ist ja echt ne geniale Umformung. Da wäre ich nie drauf gekommen Big Laugh

. Danke !!!

Darf man das so machen? Denn bei dieser Umformung wird ja nicht ganz "alles von links" betrachtet sondern bei der Annäherung von links zb. der Bereich von 2 bis (ausgeschlossen) 3. Warum "darf" man das trotzdem so machen?

20.01.2014, 13:57

Mathewolf

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Ja natürlich, denn es interessiert ja das Verhalten von f am Rand der Definitionslücke und nicht irgendwo weit davon weg.
Vielleicht solltest du dir etwas mehr Gandanken über die Bedeutung von Ausdrücken wie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} \end{eqnarray*}$ machen. Die fußen nämlich auf konvergente Folgen.

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