Gruppenaxiome

16.01.2014, 21:13

Matheversteher

Gruppenaxiome

Hallo alle zusammen Wink

ich bin im Moment etwas verwirrt was die Gruppenaxiome betrifft.

Die Gruppenaxiome sind:
I Abgeschlossenheit:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b: G, \exists c: G, a\circ b=c \end{eqnarray*}$

II Assoziativität
III Neutrales Element
IV Inverses Element

In meinem Skript steht:
I Assoziativität
II Neutrales Element
III Inverses Element
IV Umkehrbarkeit der Operation:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b: G, \exists x,y: G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\circ x=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\circ a=b \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage betrifft die beiden Kursiv geschriebenen Axiome. Ist das beides identisch?

Wenn ich zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, \cdot) \end{eqnarray*}$ betrachte, so interpretiere ich die Axiome folgendermaßen:

Im ersten Fall:
Wenn ich zwei Elemente aus den $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ verknüpfe, so erhalte ich wieder ein Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder?
$\begin{eqnarray*} a\cdot b= x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist x auch $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Damit wäre doch die Abgeschlossenheit gezeigt oder?

Nach meinem Skript:
würde das vierte Axiom nicht gelten, denn
für $\begin{eqnarray*} b=2n+1 \end{eqnarray*}$ (also alle Ungeraden Zahlen) und $\begin{eqnarray*} a\neq \pm 1 \end{eqnarray*}$ finde ich ja kein solches x, damit das gilt. verwirrt

z.B. a=2 und b=3, x müsste dann 1,5 damit die Gleichung erfüllt wäre, was aber $\begin{eqnarray*} \notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

Ich hoffe mir kann jemand helfen und mir zeigen wo mein Verständnisproblem liegt. smile

17.01.2014, 07:33

Captain Kirk

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Hallo,

die beiden Mengen von Axiomen sind äquivalent, dazu müssen nicht die einzelnen Axiome äquivalent sein.
(wobei im zweiten Packen III überflüssig ist)

Zitat:

Wenn ich zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, \cdot) \end{eqnarray*}$ betrachte,

Dir ist schon klar, dass das keine Gruppe ist?

17.01.2014, 11:07

Matheversteher

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Hallo Captain,

Zitat:

Zitat
die beiden Mengen von Axiomen sind äquivalent, dazu müssen nicht die einzelnen Axiome äquivalent sein. (wobei im zweiten Packen III überflüssig ist)

Alles klar, das heißt ich muss aufpassen, dass ich verschiedene Definitionen nicht durcheinander werfe und unter Umständen ein Axiom vergesse Freude

Zitat:

Zitat
(wobei im zweiten Packen III überflüssig ist)

Das wir dann wohl in IV schon mit drin sein oder?

Zitat:

Zitat
Dir ist schon klar, dass das keine Gruppe ist?

Das ist mir klar, denn es gibt kein Inverses Element (abgesehen von/zu der 1)

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