Konvergenz- und Divergenzkriterien

17.01.2014, 11:15

Knurpel

Konvergenz- und Divergenzkriterien

Meine Frage:
Wir sollen in einer Aufgabe mehrere Konvergenz- und Divergenzkriterien beweisen, und ich hab da so meine Probleme mit. Ich fange vlt. mal mit der Ersten an:

(i) Sandwichprinzip: Seien $\begin{eqnarray*} a_{n} und b_{n} \subset R, n \in N, \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen und sei $\begin{eqnarray*} c_{n} \subset R, n \in N, \end{eqnarray*}$ eine Folge mit der Eigenschaft, dass es ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \in N gibt, sodass a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} für alle n \geq n_{0}. Sei weiterhin lim a_{n} = lim b_{n}. Dann ist c_{n} konvergent und lim c_{n} = lim b_{n} = lim a_{n}. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \forall E groesser 0 \exists n_{0}: | a_{n} - a | \leq E und | b_{n} - a | \leq E Also: \forall E groesser 0 \exists n_{0}: |c_{n} - a| groesser als | a_{n} - a |\leq E und |c_{n} - a| kleiner als | b_{n} - a |\leq E \end{eqnarray*}$

Das ist soweit mein Ansatz, aber ich weiss nicht, wie ich da weitermachen soll....

17.01.2014, 11:26

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall E groesser 0 \exists n_{0}: | a_{n} - a | \leq E und | b_{n} - a | \leq E Also: \forall E groesser 0 \exists n_{0}: |c_{n} - a| groesser als | a_{n} - a |\leq E und |c_{n} - a| kleiner als | b_{n} - a |\leq E \end{eqnarray*}$

Du meinst vermutlich mit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

17.01.2014, 11:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfreich wäre erstmal, die Aufgabenstellung in Gänze einigermaßen lesbar zu machen:

Zitat:

Original von Knurpel
(i) Sandwichprinzip: Seien $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \subset R, n \in N \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen und sei $\begin{eqnarray*} c_{n} \subset R, n \in N \end{eqnarray*}$ eine Folge mit der Eigenschaft, dass es ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \in N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ . Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} \lim_n a_{n} = \lim_n b_{n} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} \lim_n c_{n} = \lim_n b_{n} = \lim_n a_{n} \end{eqnarray*}$ .

In dieser Sandwichvoraussetzung taucht also bereits ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ auf. Für eigene Betrachtungen wäre es für eine klare präzise Darstellung besser, nicht wieder mit Symbol $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ in dann anderer Bedeutung zu hantieren: Man kann diese anderen Indizes auch gut und gern $\begin{eqnarray*} n_1,n_2 \end{eqnarray*}$ usw. nennen, um solche Kollisionen zu vermeiden. Augenzwinkern

17.01.2014, 12:56

Knurpel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja....das sollte ein Epsilon werden. War aber im Formeleditor nicht drin. Funktionieren hier alle Latex Befehle, oder nur die im Editor vorhandenen? Da war nämlich auch kein größer als...

Was meinst du damit, "mit $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ in anderer Bedeutung hantieren?

17.01.2014, 14:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Knurpel (an diversen Stellen ergänzt)

(i) Sandwichprinzip: Seien $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \subset R, n \in N \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen und sei $\begin{eqnarray*} c_{n} \subset R, n \in N \end{eqnarray*}$ eine Folge mit der Eigenschaft, dass es ein $\begin{eqnarray*} {\color{red}n_{0}} \in N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq {\color{red}n_{0}} \end{eqnarray*}$ . Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} \lim_n a_{n} = \lim_n b_{n} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} \lim_n c_{n} = \lim_n b_{n} = \lim_n a_{n} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \forall E groesser 0 \exists {\color{blue}n_{0}} \forall n\geq {\color{blue}n_{0}}: | a_{n} - a | \leq E und | b_{n} - a | \leq E \end{eqnarray*}$

Hier z.B, kennzeichnen $\begin{eqnarray*} {\color{red}n_{0}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\color{blue}n_{0}} \end{eqnarray*}$ i.a. verschiedene Werte - DAS habe ich gemeint. Augenzwinkern

17.01.2014, 15:12

Knurpel

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.....das stimmt. Also ich hatte tatsächlich gedacht, das seie jeweils das selbe n, aber davon kann ich ja gar nicht ausgehen.
Aber passt der Ansatz so? Und wenn ja, ´nen tipp wies dann weitergeht? Steck da nämlich fest...

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz- und Divergenzkriterien

Verwandte Themen