Differentialgleichung 1. Ordnung

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17.01.2014, 14:45	dr.mave	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 1. Ordnung Hallo, ich komme einfach bei der folgenden Differentialgleichung 1. Ordnung nicht weiter. Kann mir jemand bei den ersten Schritten bitte helfen: (2x+1)y`=(2x+1)y mit y(0)=1 Keine Ahnung wie man die löst... Danke für eure Hilfe
17.01.2014, 14:52	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Du kannst erstmal durch $\begin{eqnarray} (2x+1) \end{eqnarray}$ dividieren. Demnach erhälst du $\begin{eqnarray} y'=y \end{eqnarray}$ . Diese DGL kannst du per Seperation der Variablen lösen.
17.01.2014, 14:59	dr.mave	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung habe es noch nicht ganz verstanden. Könntest du mir den ersten Schritt aufschreiben?
17.01.2014, 15:01	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Du solltest die DGL erstmal umschreiben. $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}=y \end{eqnarray}$ Nun y auf die Seite von $\begin{eqnarray} dy \end{eqnarray}$ bringen und $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ auf die andere Seite. Anschließend wird integriert und nach $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ aufgelöst.
17.01.2014, 15:05	dr.mave	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung OK. ich habe folgendes raus: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{y} \, dy =\int \! \frac{2x+1}{3x+2} \, dx \end{eqnarray}$ bin ich auf dem richtigen Weg?
17.01.2014, 15:07	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Nein, wo kommt denn die rechte Seite der Gleichung her? Wenn ich $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}=y \end{eqnarray}$ umforme erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{y}dy=dx \end{eqnarray}$ . Das musst du nun integrieren und nach $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ auflösen.
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17.01.2014, 15:11	dr.mave	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Entschuldige bitte, ich habe mich bei der Aufgabe vertippt: (3x+2)y`=(2x+1)y, y(0)=1 Tut mir leid. Ist mein Weg dann richtig?
17.01.2014, 15:13	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Ja, dann passt es. Also gilt es diese Gleichung zu lösen: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{y} \, dy =\int \! \frac{2x+1}{3x+2} \, dx \end{eqnarray}$
17.01.2014, 15:16	dr.mave	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Mit dem rechten Teil habe ich eine Polynomdivision durchgeführt und folgendes rausgekriegt: $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} + \frac{1}{2(2x+1)} \end{eqnarray}$ Nun versuche ich das nach x zu integrieren. Ich substituiere u=2x+1 und erhalten dann folgendes $\begin{eqnarray} \int \! \frac{3}{4} +\frac{1}{4u} \, du \end{eqnarray}$ Irgendwie ist das falsch. Kannst du mir helfen?
17.01.2014, 15:24	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung $\begin{eqnarray} \int\frac{2x+1}{3x+2}~dx \end{eqnarray}$ Versuch es mit der Substitution von $\begin{eqnarray} u=3x+2 \end{eqnarray}$ bzw. umgeformt $\begin{eqnarray} x=\frac{u-2}{3} \end{eqnarray}$ .
17.01.2014, 15:28	dr.mave	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Es tut mir leid, ich verstehe deinen Weg nicht. Ich würde eine Polynomdivision durchführen. Du nicht?
17.01.2014, 15:50	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Naja, $\begin{eqnarray} \int\frac{2x+1}{3x+2} \end{eqnarray}$ man wählt $\begin{eqnarray} u=3x+2 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx}=3 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} dx=\frac{1}{3}du \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u=3x+2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ umgeformt $\begin{eqnarray} x=\frac{u-2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3}\int\frac{2\cdot[\frac{u-2}{3}]+1}{u}~du=\frac{1}{3}\int\frac{\frac{2u-4+3}{3}}{u}~du=\frac{1}{3}\int\frac{\frac{2u-1}{3}}{u}~du=... \end{eqnarray}$ Hier darfst du nun weiter machen.

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